commit 39a4bf0afa602ea6726d0ea746fc9d2025e1f96d Author: bingyi Date: Mon Oct 13 17:16:27 2025 +0800 init diff --git a/P178/风险调整期望.md b/P178/风险调整期望.md new file mode 100644 index 0000000..c9b810d --- /dev/null +++ b/P178/风险调整期望.md @@ -0,0 +1,58 @@ + +你给的公式 (8-8)： + + +\[ +E^*\{cf(t)\} = E\{v(t) \cdot cf(t)\} = \sum_s \pi(t,s) \cdot v(t,s) \cdot cf(t,s) +\] + +其中 \(v(t,s)\) 满足： + +- 正值； +- 期望值等于 1。 + +--- + +在我们之前的推导中， + +\[ +v(s,T) = \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)} +\] +并且 + +\[ +\sum_s \pi(s,T) v(s,T) = \sum_s \pi^*(s,T) = 1 +\] +即 \(\mathbb{E}_\pi[v(s,T)] = 1\)。 + +这正是你这里说的 **期望值等于 1** 的条件。 + +--- +好的，我们先明确已知条件，然后推导出 (8-14)。 + +--- + +## (8-14) 式推导： + +\[ +E^*\{cf(t)\} = \mathrm{Cov}\{cf(t), v(t)\} + E\{cf(t)\} +\] +推导过程很简单： + +\[ +E^*[cf(t)] = E[v(t) \cdot cf(t)] +\] +由协方差公式： + +\[ +E[v \cdot cf] = \mathrm{Cov}(v, cf) + E[v] \cdot E[cf] +\] + +已知 \(E[v(t)] = 1\)，所以： + +\[ +E^*[cf(t)] = \mathrm{Cov}(cf(t), v(t)) + E[cf(t)] +\] +成立。 + +--- diff --git a/P179/v(t)的期望值是1.md b/P179/v(t)的期望值是1.md new file mode 100644 index 0000000..ba97e1b --- /dev/null +++ b/P179/v(t)的期望值是1.md @@ -0,0 +1,21 @@ +由定义： + +\[ +v(s,T) = \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)} +\] +因为比较两个求和式可得： + +\[ +\pi(s,T) v(s,T) = \pi^*(s,T) +\] +所以： + +\[ +v(s,T) = \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)} +\] +于是： + +\[ +\mathbb{E}_\pi[v(s,T)] = \sum_{s} \pi(s,T) \cdot \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)} = \sum_{s} \pi^*(s,T) = 1 +\] + diff --git a/P188 命题1/3 原问题为什么是线性规划问题.md b/P188 命题1/3 原问题为什么是线性规划问题.md new file mode 100644 index 0000000..aa70fd8 --- /dev/null +++ b/P188 命题1/3 原问题为什么是线性规划问题.md @@ -0,0 +1,84 @@ +## **一、线性规划的定义** + +一个优化问题是线性规划（Linear Program）当且仅当： +1. **目标函数**是决策变量的线性函数 +2. **所有约束**都是决策变量的线性等式或不等式 +3. 决策变量可以有界或无界（但通常有非负约束） + +数学形式： + +\[ +\begin{aligned} +&\max(\text{或 } \min) \quad c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n \\ +&\text{s.t.} \quad a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 \\ +&\quad \quad a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\ +&\quad \quad \cdots \\ +&\quad \quad x_i \geq 0 \quad (\text{部分或全部变量}) +\end{aligned} +\] + +--- + +## **二、原问题的线性性分析** + +### **2.1 目标函数的线性性** + +原问题目标： + +\[ +\text{Maximize} \quad Z = \sum_{s \in \Phi(T)} W(s,T) +\] + +这显然是 \(W(s,T)\) 的**线性函数**： +- 每个 \(W(s,T)\) 的系数为 1 +- 没有交叉项、没有非线性函数 + +--- + +### **2.2 约束条件的线性性** + +#### **(1) 初始资金约束** +\[ +\sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(1,0) \cdot p_n(1,0) \leq 0 +\] + +- \(p_n(1,0)\) 是**已知常数**（在时点0的价格） +- \(\mathrm{NS}_n(1,0)\) 是决策变量 +- 这是决策变量的**线性组合** ≤ 常数 + +#### **(2) 自融资约束** +\[ +-\sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(s,t) \cdot p_n(s,t) + \sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(\phi(s,t),t-1) \cdot p_n(s,t) = 0 +\] + +- \(p_n(s,t)\) 是**已知常数**（在节点 \((s,t)\) 的价格） +- \(\mathrm{NS}_n(s,t)\) 和 \(\mathrm{NS}_n(\phi(s,t),t-1)\) 是决策变量 +- 这是决策变量的**线性组合** = 常数 + +#### **(3) 终端财富定义** +\[ +-\sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(s,T) \cdot p_n(s,T) + W(s,T) = 0 +\] + +- \(p_n(s,T)\) 是**已知常数** +- \(\mathrm{NS}_n(s,T)\) 和 \(W(s,T)\) 是决策变量 +- 决策变量的**线性组合** = 常数 + +#### **(4) 终端财富非负** +\[ +W(s,T) \geq 0 +\] + +- 简单的变量非负约束，是线性的 + +--- + +### **2.3 决策变量的性质** + +所有决策变量： +- \(\mathrm{NS}_n(s,t)\)：**自由变量**（可正可负，表示可以做多或做空） +- \(W(s,T)\)：**非负变量** + +自由变量在LP中可以通过变量替换 \(x = x^+ - x^-\) 处理，其中 \(x^+ \geq 0, x^- \geq 0\)。 + +--- \ No newline at end of file diff --git a/P188 命题1/4 对偶问题的金融含义.md b/P188 命题1/4 对偶问题的金融含义.md new file mode 100644 index 0000000..7400481 --- /dev/null +++ b/P188 命题1/4 对偶问题的金融含义.md @@ -0,0 +1,199 @@ +## **状态价格密度（State Price Density）** + +### **1 基本思想** +\( q(s,t) \) 是**状态价格密度**（State Price Density），也称为**随机折现因子**（Stochastic Discount Factor）。 + +更准确地说： +- \( q(s,t) \) 表示在**当前时刻 0**，为了在**未来状态 \((s,t)\)** 获得 1 单位现金所需要支付的**当前价格** + +### **2 举例说明** +假设： +- \( t=0 \)（现在） +- \( (s,t) = (\text{"经济繁荣"}, 1) \)（一年后经济繁荣的状态） + +那么： +- \( q(\text{"繁荣"}, 1) = 0.85 \) 意味着： + - 为了在一年后（当经济繁荣时）获得 1 元钱 + - 现在需要支付 0.85 元 + +--- + +## **对偶约束的经济推导** + +### **1 主要约束 (8A-11) 的经济含义** + + + \[ +-q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1) = 0 +\] + +**经济解释**： +- 第一项：\( -q(s,t) p_n(s,t) \) = 在状态 \((s,t)\) 购买资产花费的**当前价值** +- 第二项：\( \sum_{z} q(z,t+1) p_n(z,t+1) \) = 所有可能后继状态资产价值的**当前价值** +- 等式为零：**无套利条件**——购买成本等于期望收益的现值 + +**重新整理**： + + \[ +p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1) +\] +这正是资产定价的基本公式！ + +### **2 为什么对所有资产 \( n \) 都要成立？** + +如果存在某个资产不满足这个关系，比如： + + \[ +p_n(s,t) < \sum_{z} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1) +\] +那么可以在 \((s,t)\) 买入资产，在所有后继状态卖出，获得无风险利润——这就是套利机会。 + +因此，**无套利** ⇔ 对所有资产 \( n \) 都满足这个定价关系。 + +--- + +## **3 终端约束 (8A-13) 的经济含义** + + + \[ +q(s,T) \geq 1 +\] + +**经济解释**： +- 考虑一个在终端状态 \( s \) 支付1单位的 Arrow-Debreu 证券 +- 它的价格应该是 \( q(s,T) \)（根据状态价格密度定义） +- 如果 \( q(s,T) < 1 \)，就可以低成本购买这种证券，在终端获得确定收益，构成套利 +- 因此无套利要求 \( q(s,T) \geq 1 \) + +**更深入的理解**： +实际上，通过适当的归一化，我们可以得到 \( q(s,T) \geq 1 \)。这确保了状态价格密度不会"太小"。 + +--- + +## **4 初始约束 (8A-12) 的经济含义** + + + \[ +q(1,0) \geq 0 +\] + +**经济解释**： +- \( q(1,0) \) 表示当前确定性的1单位资产的价值 +- 这显然应该非负（通常标准化为 \( q(1,0) = 1 \)） +- 负值没有经济意义 + +--- + +## **对偶目标函数的经济直觉** + +### **1 为什么是 \( \min \sum q(s,t) \) ？** + + + \[ +\text{Minimize} \quad \sum_{t=0}^T \sum_{s \in \Phi(t)} q(s,t) +\] + +**经济解释**： + +1. **打破缩放不变性**： + - 如果 \( q(s,t) \) 是一组状态价格密度，那么 \( \alpha q(s,t) \)（\( \alpha > 0 \)）也是 + - 需要目标函数来选择唯一的代表性解 + +2. **寻找"最紧"的估值**： + - 最小化总和相当于寻找**最小的可能状态价格** + - 这对应最保守（最不乐观）的估值 + +3. **经济效率**： + - 在均衡中，状态价格密度应该尽可能"小"，反映资源的稀缺性 + - 最小化总和与福利最大化有对偶关系 + +### **2 与其他归一化方式的比较** + +- **固定根节点**：\( q(1,0) = 1 \)（常见选择） +- **固定终端和**：\( \sum_{s} q(s,T) = 1 \) +- **最小化总和**：\( \min \sum_{t,s} q(s,t) \)（书中选择） + +书中选择的好处：**自动确定所有时期的相对比例**，而不仅仅是某个时点。 + +--- +## **"最紧的估值"的含义** + +### **1 直观理解** + +"最紧的估值"指的是：**最保守、最悲观的市场估值** + +- **宽松估值**：状态价格 \(q(s,t)\) 较大 → 市场对未来状态赋予较高价值 +- **紧估值**：状态价格 \(q(s,t)\) 较小 → 市场对未来状态赋予较低价值 + +### **2 数学表达** + +考虑定价公式： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}\] + +- \(v(s,T) = \frac{1}{\prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))}\) 是累积折现因子 +- \(p_n(s,T)\) 给定的资产终端价格 +- 如果 \(q(s,T)\) **较大** → 资产现价 **较高** +- 如果 \(q(s,T)\) **较小** → 资产现价 **较低** + +因此，**最小化 \(q(s,T)\) 总和相当于给出最低的资产估值**。 + +--- + +## **与 \(W(s,T)\) 的关系** + +### **1 关键洞察** + +**最小化 \(\sum q(s,t)\) ⇔ 在给定价格下寻找最大的潜在套利空间** + +### **2 对偶关系** + +回忆原始问题： +- **原始问题**：\(\max \sum W(s,T)\)，给定市场价格约束 +- **对偶问题**：\(\min \sum q(s,t)\)，给定定价关系约束 + +在强对偶成立时： + +\[ +\max \sum W(s,T) = \min \sum q(s,t) = 0 \quad (\text{无套利时}) +\] + +### **3 具体机制** + +如果市场存在错误定价： +- **宽松的 \(q\)**（较大的状态价格）：可能"掩盖"套利机会 +- **紧的 \(q\)**（最小的状态价格）：会"暴露"套利机会 + +**例子**： +假设某个资产被高估，存在套利机会： +- 使用**宽松的 \(q\)**：可能仍然满足定价公式，不显示套利 +- 使用**最紧的 \(q\)**：定价公式被违反，暴露出 \(\sum W(s,T) > 0\) 的套利策略 + +--- + +## **经济直觉** + +### **1 "最保守的估值者"** + +想象一个**极其悲观的投资者**： +- 他对所有未来状态都赋予最低的可能价值 +- 他用这些最低价值来评估所有资产 +- 如果即使在这种最悲观的估值下，某个资产仍然显得便宜，那么**肯定存在套利** + +数学上： + +\[ +\begin{aligned} +&\text{如果 } \min_q \sum q(s,t) \text{ 对应的资产估值} < \text{市场价格} \\ +&\Rightarrow \text{存在套利机会} \\ +&\Rightarrow \max_W \sum W(s,T) > 0 +\end{aligned} +\] + +### **2 与原始问题的联系** + +原始问题问："在给定价格下，最多能赚多少钱？" +对偶问题问："最悲观的市场估值是多少？" + +如果"最悲观估值"仍然高于市场价格 → 存在套利 diff --git a/P188 命题1/6 定价公式推导.md b/P188 命题1/6 定价公式推导.md new file mode 100644 index 0000000..65c6925 --- /dev/null +++ b/P188 命题1/6 定价公式推导.md @@ -0,0 +1,175 @@ + + +在离散时间多期金融市场中，如果存在无套利机会，则对于任意资产 \(n\) 和任意期限 \(T\)，其初始价格满足： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} +\] + +其中： +- \(\Phi(T)\) 是 \(T\) 时刻的所有可能状态集合 +- \(q(s,T)\) 是状态价格密度 +- \(v(s,T) = \frac{1}{\prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))}\) 是累积折现因子 +- \(p_0(s,T)\) 是无风险资产在状态 \(s\) 时刻 \(T\) 的价格 + +--- + +## **证明** + +### **第一步：单期无套利条件** + +由资产定价基本定理，无套利等价于存在严格正的状态价格密度 \(q(s,t) > 0\)，使得对任意资产 \(n\)，在任意节点 \((s,t)\) 有： + +\[ +p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1) +\tag{1} +\] + +其中 \(\Omega(s,t)\) 是从节点 \((s,t)\) 可达的下一期状态集合。 + +--- + +### **第二步：递归展开** + +从根节点 \((1,0)\) 开始，对资产 \(n\) 应用公式 (1)： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \frac{q(s_1,1)}{q(1,0)} p_n(s_1,1) +\tag{2} +\] + +对每个 \(s_1 \in \Omega(1,0)\)，再次应用公式 (1)： + +\[ +p_n(s_1,1) = \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \frac{q(s_2,2)}{q(s_1,1)} p_n(s_2,2) +\] + +代入公式 (2)： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \frac{q(s_1,1)}{q(1,0)} \left[ \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \frac{q(s_2,2)}{q(s_1,1)} p_n(s_2,2) \right] +\] + +简化后： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \frac{q(s_2,2)}{q(1,0)} p_n(s_2,2) +\tag{3} +\] + +--- + +### **第三步：多期推广** + +重复上述过程 \(T\) 次，得到： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{q(1,0)} p_n(s,T) +\tag{4} +\] + +其中 \(\Phi(T)\) 是 \(T\) 时刻的所有终端状态集合，求和遍历所有从根节点到终端节点的路径。 + +--- + +### **第四步：归一化处理** + +选择归一化条件： + +\[ +q(1,0) = p_0(1,0) +\] + +**为什么这样选择？** +- 状态价格密度 \(q(s,t)\) 的绝对数值没有独立的经济意义 +- 只有相对比值 \(\frac{q(z,t+1)}{q(s,t)}\) 才有经济含义（决定资产价格） +- 我们可以自由选择一个方便的归一化条件 + +### **无风险资产价格的标准化** + +通常我们设： + +\[ +p_0(1,0) = 1 +\] + +**经济解释**： +- 将初始时刻的无风险资产价格标准化为1单位 +- 这相当于选择初始时刻的"计价单位" +- 不影响相对价格关系 + +### **代入推导** + +将 \(q(1,0) = p_0(1,0) = 1\) 代入公式(4)： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{1} p_n(s,T) +\] + +得到： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} q(s,T) p_n(s,T) +\tag{6} +\] + +--- + +### **第五步：引入相对价格** + +将公式 (5) 两边除以 \(p_0(1,0) = 1\)： + +\[ +\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} q(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(1,0)} +\] + +在右边分子分母同时乘以 \(p_0(s,T)\)： + +\[ +\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} q(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} \cdot \frac{p_0(s,T)}{p_0(1,0)} +\tag{6} +\] + +--- + +### **第六步：处理无风险资产累积** + +对于无风险资产，沿任意路径 \(s_0 \to s_1 \to \cdots \to s_T = s\) 有： + +\[ +p_0(s,T) = p_0(1,0) \cdot \prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k)) +\] + +由于 \(p_0(1,0) = 1\)，得： + +\[ +p_0(s,T) = \prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k)) +\] + +定义累积折现因子： + +\[ +v(s,T) = \frac{p_0(1,0)}{p_0(s,T)} = \frac{1}{\prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))} +\] + +因此： + +\[ +\frac{p_0(s,T)}{p_0(1,0)} = \frac{1}{v(s,T)} +\] + +--- + +### **第七步：最终推导** + +将 \(\frac{p_0(s,T)}{p_0(1,0)} = \frac{1}{v(s,T)}\) 代入公式 (6)： + +\[ +\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} +\] + +由于 \(p_0(1,0) = 1\)，最终得到： + +\[ +\boxed{p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}} +\] diff --git a/P188 命题1/7 从对偶问题出发证明命题1.md b/P188 命题1/7 从对偶问题出发证明命题1.md new file mode 100644 index 0000000..8b30e5a --- /dev/null +++ b/P188 命题1/7 从对偶问题出发证明命题1.md @@ -0,0 +1,216 @@ + +## **第一步：建立对偶问题** + +我们从书中给出的对偶问题出发： + + +\[ +\begin{aligned} +&\min \sum_{t=0}^T \sum_{s \in \Phi(t)} q(s,t) \\ +&\text{s.t.} \quad -q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1) = 0 \quad (8A\text{-}11) \\ +&\quad q(1,0) \ge 0 \quad (8A\text{-}12) \\ +&\quad q(s,T) \ge 1 \quad (8A\text{-}13) +\end{aligned} +\] + +其中约束(8A-11)对任意 \(n=0,1,\dots,N\)，任意 \(0 \le t < T\)，任意 \(s \in \Phi(t)\) 成立。 + +--- + +## **第二步：证明所有 \(q(s,t) > 0\)** + +**证明**： + +1. 由(8A-13)，对所有终端节点 \(s \in \Phi(T)\)，有 \(q(s,T) \ge 1 > 0\)。 + +2. 现在用逆向归纳法证明。假设对某个 \(t < T\)，对所有 \(s \in \Phi(t+1)\) 有 \(q(s,t+1) > 0\)，我们要证明对所有 \(s \in \Phi(t)\) 有 \(q(s,t) > 0\)。 + +3. 取无风险资产 \(n=0\)，代入约束(8A-11)： + +\[ + -q(s,t) p_0(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_0(z,t+1) = 0 + \] + +4. 由无风险资产性质：\(p_0(z,t+1) = (1 + i_F(s,t)) p_0(s,t)\)，代入得： + +\[ + -q(s,t) p_0(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) (1 + i_F(s,t)) p_0(s,t) = 0 + \] + +5. 两边除以 \(p_0(s,t) > 0\)： + +\[ + -q(s,t) + (1 + i_F(s,t)) \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) = 0 + \] + +6. 整理得： + +\[ + q(s,t) = (1 + i_F(s,t)) \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) \quad (8A\text{-}14) + \] + +7. 由归纳假设，所有 \(q(z,t+1) > 0\)，且 \(1 + i_F(s,t) > 0\)，所以： + +\[ + q(s,t) > 0 + \] + +8. 由数学归纳法，对所有 \(s,t\)，有 \(q(s,t) > 0\)。 + +--- + +## **第三步：定义条件概率 \(\pi^*\)** + +利用(8A-14)，定义条件概率： + + +\[ +\pi^*(z,t+1|s,t) = +\begin{cases} +\frac{1 + i_F(s,t)}{q(s,t)} \cdot q(z,t+1) & \text{若 } z \in \Omega(s,t) \\ +0 & \text{若 } z \notin \Omega(s,t) +\end{cases} +\quad (8A\text{-}15) +\] + +**验证这是概率分布**： + +由(8A-14)： + +\[ +\sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) = \frac{1 + i_F(s,t)}{q(s,t)} \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) = \frac{1 + i_F(s,t)}{q(s,t)} \cdot \frac{q(s,t)}{1 + i_F(s,t)} = 1 +\] + +且 \(\pi^*(z,t+1|s,t) > 0\) 对所有 \(z \in \Omega(s,t)\)（因为 \(q > 0\)）。 + +--- + +## **第四步：推导单期估值公式** + +对任意资产 \(n\)，代入约束(8A-11)： + +\[ +-q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1) = 0 +\] + +由(8A-15)，\(q(z,t+1) = \frac{q(s,t)}{1 + i_F(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t)\)，代入得： + +\[ +-q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(s,t)}{1 + i_F(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) p_n(z,t+1) = 0 +\] + +两边除以 \(q(s,t) > 0\)： + +\[ +-p_n(s,t) + \frac{1}{1 + i_F(s,t)} \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) p_n(z,t+1) = 0 +\] + +整理得： + +\[ +p_n(s,t) = \frac{1}{1 + i_F(s,t)} \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) p_n(z,t+1) +\] + +两边除以 \(p_0(s,t)\)，利用 \(p_0(z,t+1) = (1 + i_F(s,t)) p_0(s,t)\)，得： + +\[ +\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)} \quad (8A\text{-}16) +\] + +--- + +## **第五步：构造全局概率 \(\pi^*\)** + +定义全局概率 \(\pi^*(s,t)\)： + +1. 根节点：\(\pi^*(1,0) = 1\) + +2. 递推定义：对任意 \(s \in \Phi(t+1)\)， + +\[ + \pi^*(s,t+1) = \pi^*(s,t+1|\phi(s,t+1),t) \cdot \pi^*(\phi(s,t+1),t) \quad (8A\text{-}17) + \] + 其中 \(\phi(s,t+1)\) 是节点 \((s,t+1)\) 在时刻 \(t\) 的唯一前驱。 + +**验证这是概率分布**： + +在时刻 \(t+1\)， + +\[ +\sum_{s \in \Phi(t+1)} \pi^*(s,t+1) = \sum_{s' \in \Phi(t)} \sum_{s \in \Omega(s',t)} \pi^*(s,t+1|s',t) \pi^*(s',t) += \sum_{s' \in \Phi(t)} \pi^*(s',t) \underbrace{\sum_{s \in \Omega(s',t)} \pi^*(s,t+1|s',t)}_{=1} = \sum_{s' \in \Phi(t)} \pi^*(s',t) +\] + +由归纳法，\(\sum_{s \in \Phi(t)} \pi^*(s,t) = 1\) 对所有 \(t\) 成立。 + +--- + +## **第六步：证明命题1的估值公式** + +我们要证明： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) v(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} +\] + +**证明**： + +1. 由单期估值公式(8A-16)递归应用。从根节点开始： + +\[ + \frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \pi^*(s_1,1|1,0) \frac{p_n(s_1,1)}{p_0(s_1,1)} + \] + +2. 对每个 \(s_1\)，再次应用(8A-16)： + +\[ + \frac{p_n(s_1,1)}{p_0(s_1,1)} = \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \pi^*(s_2,2|s_1,1) \frac{p_n(s_2,2)}{p_0(s_2,2)} + \] + +3. 代入前式： + +\[ + \frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \pi^*(s_1,1|1,0) \pi^*(s_2,2|s_1,1) \frac{p_n(s_2,2)}{p_0(s_2,2)} + \] + +4. 继续递归，直到时刻 \(T\)： + +\[ + \frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)} \left[ \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) \right] \frac{p_n(s_T,T)}{p_0(s_T,T)} + \] + +5. 由全局概率定义(8A-17)，路径概率为： + (详见：路径概率式子详细推导) + +\[ + \pi^*(s_T,T) = \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) + \] + 其中 \(s_0 = 1\)。 + +6. 所以： + +\[ + \frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} + \] + +两边乘以 \(p_0(1,0)\)： + +\[ +p_n(1,0) = p_0(1,0) \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} +\] + +我们可以简单地**定义**： + +\[ +v(s,T) = \frac{p_0(1,0)}{\pi(s,T)} \cdot \pi^*(s,T) +\] + +由前文知，我们已假设无风险资产的初始价格为1，即 \(p_0(1,0) = 1\) + +则可以得出： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi(s,T) v(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} +\] + +命题1得证 diff --git a/P188 命题1/7.1 路径概率式子详细推导.md b/P188 命题1/7.1 路径概率式子详细推导.md new file mode 100644 index 0000000..a97f5ff --- /dev/null +++ b/P188 命题1/7.1 路径概率式子详细推导.md @@ -0,0 +1,162 @@ +## **第一步：理解第4步中的多重求和** + +第4步得到： + +\[ +\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)} \left[ \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) \right] \frac{p_n(s_T,T)}{p_0(s_T,T)} +\] + +这里： +- \(s_0 = 1\)（根节点） +- \(s_1 \in \Omega(1,0)\)：从根节点出发的第一期状态 +- \(s_2 \in \Omega(s_1,1)\)：从\(s_1\)出发的第二期状态 +- ... +- \(s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)\)：终端状态 + +**这个多重求和是在对所有可能的路径求和**。 + +--- + +## **第二步：路径的数学表示** + +一条完整的路径可以表示为： + +\[ +\text{路径}: 1 = s_0 \rightarrow s_1 \rightarrow s_2 \rightarrow \cdots \rightarrow s_T +\] +其中： +- \(s_0 = 1\) +- \(s_1 \in \Omega(1,0)\) +- \(s_2 \in \Omega(s_1,1)\) +- ... +- \(s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)\) + +**每条路径的概率**为： + +\[ +\pi^*(\text{路径}) = \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) +\] + +--- + +## **第三步：重新理解多重求和** + +原来的多重求和： + +\[ +\sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)} +\] + +**等价于**： + +\[ +\sum_{\text{所有从根到终端的路径}} +\] + +因为每条路径由序列 \(s_1, s_2, \dots, s_T\) 唯一确定。 + +--- + +## **第四步：全局概率的定义** + +现在看书中(8A-17)的定义： + +\[ +\pi^*(s,t+1) = \pi^*(s,t+1|\phi(s,t+1),t) \cdot \pi^*(\phi(s,t+1),t) +\] + +**递归展开**： +对于终端节点 \(s_T\)，设它的前驱序列为： + +\[ +1 = s_0 \rightarrow s_1 \rightarrow \cdots \rightarrow s_{T-1} \rightarrow s_T +\] + +那么： + +\[ +\begin{aligned} +\pi^*(s_T,T) &= \pi^*(s_T,T|s_{T-1},T-1) \cdot \pi^*(s_{T-1},T-1) \\ +&= \pi^*(s_T,T|s_{T-1},T-1) \cdot \pi^*(s_{T-1},T-1|s_{T-2},T-2) \cdot \pi^*(s_{T-2},T-2) \\ +&= \cdots \\ +&= \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) +\end{aligned} +\] + +因为 \(\pi^*(1,0) = 1\)。 + +--- + +## **第五步：完成推导** + +所以第4步中的： + +\[ +\sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)} \left[ \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) \right] \frac{p_n(s_T,T)}{p_0(s_T,T)} +\] + +可以重写为： + +\[ +\sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} +\] + +因为： +1. **外层求和**：\(\sum_{s \in \Phi(T)}\) 对所有终端状态求和 +2. **内层路径概率**：\(\pi^*(s,T)\) 已经包含了到达该终端状态的所有路径的概率 +3. **每条路径的概率**：正好是 \(\prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k)\) + +--- + +## **第六步：具体例子说明** + +假设 \(T=2\)，树结构为： +- 根节点：1 +- 第一期：\(\Omega(1,0) = \{A,B\}\) +- 第二期：\(\Omega(A,1) = \{C,D\}\)，\(\Omega(B,1) = \{E,F\}\) + +**第4步的多重求和**： + +\[ +\sum_{s_1 \in \{A,B\}} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \pi^*(s_1,1|1,0) \pi^*(s_2,2|s_1,1) \frac{p_n(s_2,2)}{p_0(s_2,2)} +\] + +展开为： + +\[ +\begin{aligned} +&\pi^*(A,1|1,0) \pi^*(C,2|A,1) \frac{p_n(C,2)}{p_0(C,2)} + \pi^*(A,1|1,0) \pi^*(D,2|A,1) \frac{p_n(D,2)}{p_0(D,2)} \\ ++ &\pi^*(B,1|1,0) \pi^*(E,2|B,1) \frac{p_n(E,2)}{p_0(E,2)} + \pi^*(B,1|1,0) \pi^*(F,2|B,1) \frac{p_n(F,2)}{p_0(F,2)} +\end{aligned} +\] + +**第5步的单一求和**： + +\[ +\pi^*(C,2) \frac{p_n(C,2)}{p_0(C,2)} + \pi^*(D,2) \frac{p_n(D,2)}{p_0(D,2)} + \pi^*(E,2) \frac{p_n(E,2)}{p_0(E,2)} + \pi^*(F,2) \frac{p_n(F,2)}{p_0(F,2)} +\] + +由定义： + +\[ +\begin{aligned} +\pi^*(C,2) &= \pi^*(C,2|A,1) \pi^*(A,1) = \pi^*(C,2|A,1) \pi^*(A,1|1,0) \\ +\pi^*(D,2) &= \pi^*(D,2|A,1) \pi^*(A,1|1,0) \\ +\pi^*(E,2) &= \pi^*(E,2|B,1) \pi^*(B,1|1,0) \\ +\pi^*(F,2) &= \pi^*(F,2|B,1) \pi^*(B,1|1,0) +\end{aligned} +\] + +**两者完全相等**！ + +--- + +## **总结** + +从第4步到第5步的关键是： +1. **多重求和** = 对所有路径求和 +2. **全局概率** \(\pi^*(s,T)\) = 到达终端状态 \(s\) 的所有路径概率之和 +3. 在树结构中，每个终端状态只有**唯一一条路径**到达 +4. 因此可以转换为对终端状态的单一求和 + +这样就完成了从条件概率形式到无条件概率形式的转换。 \ No newline at end of file diff --git a/P188 命题1/从连续版本的FTAP推导离散版本.md b/P188 命题1/从连续版本的FTAP推导离散版本.md new file mode 100644 index 0000000..7e9c120 --- /dev/null +++ b/P188 命题1/从连续版本的FTAP推导离散版本.md @@ -0,0 +1,240 @@ +## **一、连续时间资产定价基本定理** + +### **1.1 连续时间无套利条件** + +在连续时间模型中，**无套利 ⇔ 存在等价鞅测度** + +资产价格过程 \(S(t)\) 满足： + +\[ +\frac{S(t)}{B(t)} \text{ 是 } \mathbb{Q}\text{-鞅} +\] +其中 \(B(t) = e^{\int_0^t r(s)ds}\) 是货币市场账户。 + +### **1.2 状态价格密度（随机折现因子）** + +存在严格正的过程 \(\xi(t)\)（状态价格密度）使得： + +\[ +S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(T)}{\xi(t)} S(T) \right] +\] +其中 \(\xi(t) = e^{-\int_0^t r(s)ds} \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\bigg|_{\mathcal{F}_t}\) + +--- + +## **二、从连续到离散的推导** + +### **2.1 时间离散化** + +将时间区间 \([0,T]\) 离散化为 \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_N = T\)，设 \(t_k = k\Delta t\)。 + +在离散节点 \((s,t)\)，连续公式变为： + +\[ +p_n(s,t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(t+1)}{\xi(t)} p_n(t+1) \right] +\] + +### **2.2 条件期望的离散化** + +对于离散状态空间，条件期望变为求和： + +\[ +p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{\xi(z,t+1)}{\xi(s,t)} p_n(z,t+1) \cdot \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) +\] + +定义： +- \(q(s,t) = \xi(s,t)\)（状态价格密度） +- \(\pi^*(z,t+1 | s,t) = \frac{\mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \xi(z,t+1) / \xi(s,t)}{\mathbb{E}[\xi(t+1)/\xi(t) | s,t]}\) + +--- + +## **三、直接推导离散时间定价公式** + +### **3.1 基本定价公式** + +从连续时间定价公式出发： + +\[ +S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(T)}{\xi(t)} S(T) \right] +\] + +在离散时间设定中，对于任意 \(t \leq u \leq T\)： + +\[ +S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(u)}{\xi(t)} S(u) \right] +\] + +特别地，取 \(u = t+1\)： + +\[ +S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(t+1)}{\xi(t)} S(t+1) \right] +\] + +### **3.2 状态空间离散化** + +在节点 \((s,t)\)，条件期望变为： + +\[ +p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{\xi(z,t+1)}{\xi(s,t)} p_n(z,t+1) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) +\] + +令 \(q(s,t) = \xi(s,t)\)，则： + +\[ +p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) +\] + +### **3.3 构造风险中性概率** + +定义新的概率测度： + +\[ +\pi^*(z,t+1 | s,t) = \frac{\mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)}}{\sum_{w \in \Omega(s,t)} \mathbb{P}(w,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(w,t+1)}{q(s,t)}} +\] + +由于无风险资产满足： + +\[ +p_0(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_0(z,t+1) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) +\] +且 \(p_0(z,t+1) = (1+i_f(s,t)) p_0(s,t))\) + +可得： + +\[ +\sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} (1+i_f(s,t)) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) = 1 +\] + +因此归一化因子为： + +\[ +\sum_{z \in \Omega(s,t)} \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} = \frac{1}{1+i_f(s,t)} +\] + +### **3.4 得到最终公式** + +于是： + +\[ +\pi^*(z,t+1 | s,t) = (1+i_f(s,t)) \cdot \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} +\] + +代入定价公式： + +\[ +p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{\pi^*(z,t+1 | s,t)}{1+i_f(s,t)} p_n(z,t+1) +\] + +这正是书中的 (8A-16)！ + +--- + +## **四、推导估值公式 (8A-4)** + +### **4.1 递归展开** + +从单期公式递归应用： + +\[ +\begin{aligned} +p_n(1,0) &= \sum_{z \in \Omega(1,0)} \frac{\pi^*(z,1 | 1,0)}{1+i_f(1,0)} p_n(z,1) \\ +&= \sum_{z \in \Omega(1,0)} \frac{\pi^*(z,1 | 1,0)}{1+i_f(1,0)} \left[ \sum_{w \in \Omega(z,1)} \frac{\pi^*(w,2 | z,1)}{1+i_f(z,1)} p_n(w,2) \right] \\ +&= \cdots +\end{aligned} +\] + +### **4.2 路径概率** + +定义从根节点到终端节点 \(s\) 的路径概率： + +\[ +\pi^*(s,T) = \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1 | s_k,k) +\] + +其中 \(s_0 = 1, s_T = s\) 是具体路径。 + +### **4.3 折现因子** + +定义累积折现因子： + +\[ +v(s,T) = \prod_{k=0}^{T-1} \frac{1}{1+i_f(s_k,k)} +\] + +### **4.4 最终估值公式** + +经过递归展开得到： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \cdot v(s,T) \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} \cdot p_0(1,0) +\] + +由于 \(p_0(1,0)\) 是常数，可以归一化，得到书中的 (8A-4)： + +\[ +p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \cdot v(s,T) \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} +\] + +--- + +## **五、对偶约束的推导** + +### **5.1 无套利条件** + +从连续时间的无套利条件：存在严格正的 \(\xi(t)\) 使得折现价格是鞅。 + +在离散时间中，这等价于：存在严格正的 \(q(s,t)\) 使得： + +\[ +\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \mathbb{E}^*_t\left[ \frac{p_n(t+1)}{p_0(t+1)} \right] +\] +其中 \(\mathbb{E}^*\) 是在 \(\pi^*\) 下的期望。 + +### **5.2 得到对偶约束** + +由上述鞅性质： + +\[ +\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)} +\] + +代入 \(\pi^*\) 的定义： + +\[ +\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \sum_{z \in \Omega(s,t)} (1+i_f(s,t)) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)} +\] + +两边乘以 \(\frac{q(s,t)}{p_0(s,t)}\)： + +\[ +q(s,t) \cdot \frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = (1+i_f(s,t)) \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)} +\] + +利用 \(p_0(z,t+1) = (1+i_f(s,t)) p_0(s,t))\)，得到： + +\[ +q(s,t) p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1) +\] + +这正是对偶约束 (8A-11)！ + +--- + +## **六、总结** + +从连续时间资产定价定理推导离散版本的过程： + +1. **从连续时间公式出发**：\( S(t) = \mathbb{E}_t[\frac{\xi(T)}{\xi(t)} S(T)] \) +2. **时间离散化**：得到单期定价关系 +3. **状态离散化**：将期望变为求和 +4. **构造风险中性概率**：\(\pi^*\) 的定义 +5. **递归展开**：得到多期估值公式 +6. **无套利条件**：导出对偶约束 + +这种推导方式： +- ✅ **经济直觉更清晰**：基于标准的资产定价理论 +- ✅ **数学更严谨**：避免了LP对偶的退化问题 +- ✅ **通用性更强**：适用于连续和离散时间 +- ✅ **易于推广**：可以扩展到更复杂的模型 + +这证实了书中离散时间公式确实是连续时间资产定价定理的特例。 \ No newline at end of file diff --git a/P190 期权定价/t.md b/P190 期权定价/t.md new file mode 100644 index 0000000..cdf197b --- /dev/null +++ b/P190 期权定价/t.md @@ -0,0 +1,129 @@ +好的，我们基于正确的表达式，并保留 \( q_0 \) 作为变量来求解。 + +--- + +### **已知条件** + +1. **估值乘子公式**（我们推导出的正确版本）： + +\[ +v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}}, \quad v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} +\] +其中 \( R_f = 1.00487 \), \( \pi_{UP} = \pi_{DOWN} = 0.5 \)。 + +2. **修正后的状态价格方程组**（保证状态价格为正）： + +\[ +\begin{cases} +q_0 - R_f \cdot q_{UP} - R_f \cdot q_{DOWN} = 0 \quad &(1) \\ +50 q_0 - 53 q_{UP} - 49 q_{DOWN} = 0 \quad &(2) +\end{cases} +\] +且 \( q_0 > 0, q_{UP} > 0, q_{DOWN} > 0 \)。 + +--- + +### **第一步：从方程组中求出 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)** + +我们不需要单独求出 \( q_0, q_{UP}, q_{DOWN} \)，只需要求出它们的比值 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，因为估值乘子公式中只依赖于这些比值。 + +将方程组 (1) 和 (2) 两边同时除以 \( q_0 \)（因为 \( q_0 > 0 \)，可以这样操作）： + +令 \( x = \frac{q_{UP}}{q_0} \), \( y = \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，则方程组变为： + +\[ +\begin{cases} +1 - R_f \cdot x - R_f \cdot y = 0 \quad &(1') \\ +50 - 53 x - 49 y = 0 \quad &(2') +\end{cases} +\] + +--- + +### **第二步：求解比值 \( x \) 和 \( y \)** + +由方程 (1')： + +\[ +R_f (x + y) = 1 +\] + +\[ +x + y = \frac{1}{R_f} \quad (3) +\] + +由方程 (2')： + +\[ +53 x + 49 y = 50 \quad (4) +\] + +现在解方程组 (3) 和 (4)： + +从 (3) 得：\( y = \frac{1}{R_f} - x \) + +代入 (4)： + +\[ +53 x + 49 \left( \frac{1}{R_f} - x \right) = 50 +\] + +\[ +53 x + \frac{49}{R_f} - 49 x = 50 +\] + +\[ +4 x + \frac{49}{R_f} = 50 +\] + +\[ +4 x = 50 - \frac{49}{R_f} +\] + +\[ +x = \frac{50 - \frac{49}{R_f}}{4} +\] + +代入 \( R_f = 1.00487 \)： + +\[ +x = \frac{50 - \frac{49}{1.00487}}{4} = \frac{50 - 48.76235}{4} = \frac{1.23765}{4} = 0.3094125 +\] + +现在求 \( y \)： + +\[ +y = \frac{1}{R_f} - x = 0.99515 - 0.3094125 = 0.6857375 +\] + +所以： + +\[ +\frac{q_{UP}}{q_0} = x = 0.3094125, \quad \frac{q_{DOWN}}{q_0} = y = 0.6857375 +\] + +--- + +### **第三步：代入估值乘子公式** + +现在代入正确的估值乘子公式： + + +\[ +v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}} = R_f \cdot \frac{q_{UP}/q_0}{\pi_{UP}} = 1.00487 \times \frac{0.3094125}{0.5} +\] + +\[ +v_{UP} = 1.00487 \times 0.618825 = 0.6217 \approx 0.62 +\] + + +\[ +v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} = R_f \cdot \frac{q_{DOWN}/q_0}{\pi_{DOWN}} = 1.00487 \times \frac{0.6857375}{0.5} +\] + +\[ +v_{DOWN} = 1.00487 \times 1.371475 = 1.3785 \approx 1.38 +\] + +--- diff --git a/P190 期权定价/命题一举例 期权定价.html b/P190 期权定价/命题一举例 期权定价.html new file mode 100644 index 0000000..9c87ef2 --- /dev/null +++ b/P190 期权定价/命题一举例 期权定价.html @@ -0,0 +1,200 @@ + + + + + + + + + + + + +

资产价格方程

+

第一步：理解一般形式（8A-11）

+

一般形式的资产定价方程为：

+
−q(s,t) pn(s,t)+∑z∈Ω(s,t)q(z,t+1) pn(z,t+1)=0 +- q_{(s, t)} \, p_{n}(s, t) + \sum_{z \in \Omega(s, t)} q_{(z, t+1)} \, p_{n}(z, t+1) = 0 +
+

经济解释：

+ +

第二步：将一般形式应用到单期模型

+

我们的例子是一个简单的单期模型：

+ +

在这个设定下，一般形式 (8A−11) (8A-11) 中的 (s,t) (s, t) 特指初始状态 (s0,0) (s_{0}, 0) 。

+

第三步：推导无风险资产的方程（8A-19）

+

令资产 n n 为无风险资产。

+
    +
  1. +

    在状态 (s0,0) (s_{0}, 0) :

    +
      +
    • 价格 p无风险(s0,0)=1 p_{\text{无风险}}(s_{0}, 0) = 1 （以1美元为单位）。
      • +
    • 对应的状态价格为 q(s0,0) q_{(s_{0}, 0)} ，在书中记为 q0 q_{0} 。
      • +
    +
    2. +
  2. +

    在后续状态 z∈{UP, DOWN} z \in \{ UP, \, DOWN \} :

    +
      +
    • 无风险资产在 t=1 t=1 时刻的回报均为 Rf=1.00487 R_{f} = 1.00487 ，即 p无风险(z,1)=Rf p_{\text{无风险}}(z, 1) = R_{f} 。
      • +
    • 对应的状态价格为 q(z,1) q_{(z, 1)} ，在书中记为 qUP q_{UP} 和 qDOWN q_{DOWN} 。
      • +
    +
    3. +
  3. +

    代入一般形式（8A-11）： +将具体值代入方程 −q(s,t) pn(s,t)+∑zq(z,t+1) pn(z,t+1)=0 -q_{(s,t)} \, p_{n}(s,t) + \sum_{z} q_{(z,t+1)} \, p_{n}(z,t+1) = 0 ：

    +
    −q0×1+(qUP×Rf+qDOWN×Rf)=0 + - q_{0} \times 1 + \left( q_{UP} \times R_{f} + q_{DOWN} \times R_{f} \right) = 0 +
    +

    简化后得到：

    +
    −q0+Rf (qUP+qDOWN)=0 + -q_{0} + R_{f} \, (q_{UP} + q_{DOWN}) = 0 +
    +

    移项后，得到书中的方程（8A-19）：

    +
    q0−(qUP⋅Rf+qDOWN⋅Rf)=0 + q_{0} - (q_{UP} \cdot R_{f} + q_{DOWN} \cdot R_{f}) = 0 +
    +

    （注：关于 qDOWN q_{DOWN} 前的符号，其核心经济含义是 q0=Rf(qUP+qDOWN) q_{0} = R_{f} (q_{UP} + q_{DOWN}) ，即无风险资产的定价约束。）

    +
    4. +
+

第四步：推导风险资产（股票）的方程（8A-20）

+

令资产 n n 为股票。

+
    +
  1. +

    在状态 (s0,0) (s_{0}, 0) :

    +
      +
    • 价格 p股票(s0,0)=50 p_{\text{股票}}(s_{0}, 0) = 50 。
      • +
    • 对应的状态价格仍为 q0 q_{0} 。
      • +
    +
    2. +
  2. +

    在后续状态 z∈{UP, DOWN} z \in \{ UP, \, DOWN \} :

    +
      +
    • 在 UP UP 状态，股票价格 p股票(UP,1)=53 p_{\text{股票}}(UP, 1) = 53 ，状态价格为 qUP q_{UP} 。
      • +
    • 在 DOWN DOWN 状态，股票价格 p股票(DOWN,1)=49 p_{\text{股票}}(DOWN, 1) = 49 ，状态价格为 qDOWN q_{DOWN} 。
      • +
    +
    3. +
  3. +

    代入一般形式（8A-11）： +将具体值代入方程：

    +
    −q0×50+(qUP×53+qDOWN×49)=0 + - q_{0} \times 50 + \left( q_{UP} \times 53 + q_{DOWN} \times 49 \right) = 0 +
    +

    移项后，得到书中的方程（8A-20）：

    +
    q0⋅50−(qUP⋅53+qDOWN⋅49)=0 + q_{0} \cdot 50 - (q_{UP} \cdot 53 + q_{DOWN} \cdot 49) = 0 +
    +

    （同样，其核心是 50 q0=53 qUP+49 qDOWN 50 \, q_{0} = 53 \, q_{UP} + 49 \, q_{DOWN} ，即股票的无套利定价约束。）

    +
    4. +
+
+

推导 vUP v_{UP} 和 vDOWN v_{DOWN} 的表达式

+

风险中性概率的表达式

+

从风险中性概率的定义公式（ (8A-15) 在单期模型下的形式）：

+
π∗(s)=1+iFq0⋅qs +\pi^*(s) = \frac{1 + i_F}{q_0} \cdot q_s +
+

其中 1+iF=Rf 1 + i_F = R_f ，所以：

+
π∗(s)=Rfq0⋅qs(B) +\pi^*(s) = \frac{R_f}{q_0} \cdot q_s \quad \text{(B)} +
+
+

推导估值乘子表达式

+

由 (8A-18) 可得:

+
v(s)=π∗(s)π(s)(A) +v(s) = \frac{\pi^*(s)}{\pi(s)} \quad \text{(A)} +
+

将 (B) 式代入 (A) 式：

+
v(s)=Rfq0⋅qsπ(s) +v(s) = \frac{\frac{R_f}{q_0} \cdot q_s}{\pi(s)} +
+

直接得到：

+
v(s)=Rfq0⋅qsπ(s) +v(s) = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_s}{\pi(s)} +
+

对于上涨和下跌状态：

+
vUP=Rfq0⋅qUPπUP,vDOWN=Rfq0⋅qDOWNπDOWN +v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}}, \quad v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} +
+

这就是我们要求的正确形式的估值乘子表达式。

+
+

解方程求最终结果

+

第一步：从方程组中求出 qUPq0 \frac{q_{UP}}{q_0} 和 qDOWNq0 \frac{q_{DOWN}}{q_0}

+

我们不需要单独求出 q0,qUP,qDOWN q_0, q_{UP}, q_{DOWN} ，只需要求出它们的比值 qUPq0 \frac{q_{UP}}{q_0} 和 qDOWNq0 \frac{q_{DOWN}}{q_0} ，因为估值乘子公式中只依赖于这些比值。

+

将方程组 (1) 和 (2) 两边同时除以 q0 q_0 （因为 q0>0 q_0 > 0 ，可以这样操作）：

+

令 x=qUPq0 x = \frac{q_{UP}}{q_0} , y=qDOWNq0 y = \frac{q_{DOWN}}{q_0} ，则方程组变为：

+
{1−Rf⋅x−Rf⋅y=0(1′)50−53x−49y=0(2′) +\begin{cases} +1 - R_f \cdot x - R_f \cdot y = 0 \quad &(1') \\ +50 - 53 x - 49 y = 0 \quad &(2') +\end{cases} +
+
+

第二步：求解比值 x x 和 y y

+

由方程 (1')：

+
Rf(x+y)=1 +R_f (x + y) = 1 +
+
x+y=1Rf(3) +x + y = \frac{1}{R_f} \quad (3) +
+

由方程 (2')：

+
53x+49y=50(4) +53 x + 49 y = 50 \quad (4) +
+

现在解方程组 (3) 和 (4)：

+

从 (3) 得：y=1Rf−x y = \frac{1}{R_f} - x

+

代入 (4)：

+
53x+49(1Rf−x)=50 +53 x + 49 \left( \frac{1}{R_f} - x \right) = 50 +
+
53x+49Rf−49x=50 +53 x + \frac{49}{R_f} - 49 x = 50 +
+
4x+49Rf=50 +4 x + \frac{49}{R_f} = 50 +
+
4x=50−49Rf +4 x = 50 - \frac{49}{R_f} +
+
x=50−49Rf4 +x = \frac{50 - \frac{49}{R_f}}{4} +
+

代入 Rf=1.00487 R_f = 1.00487 ：

+
x=50−491.004874=50−48.762354=1.237654=0.3094125 +x = \frac{50 - \frac{49}{1.00487}}{4} = \frac{50 - 48.76235}{4} = \frac{1.23765}{4} = 0.3094125 +
+

现在求 y y ：

+
y=1Rf−x=0.99515−0.3094125=0.6857375 +y = \frac{1}{R_f} - x = 0.99515 - 0.3094125 = 0.6857375 +
+

所以：

+
qUPq0=x=0.3094125,qDOWNq0=y=0.6857375 +\frac{q_{UP}}{q_0} = x = 0.3094125, \quad \frac{q_{DOWN}}{q_0} = y = 0.6857375 +
+
+

第三步：代入估值乘子公式

+

现在代入正确的估值乘子公式：

+
vUP=Rfq0⋅qUPπUP=Rf⋅qUP/q0πUP=1.00487×0.30941250.5 +v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}} = R_f \cdot \frac{q_{UP}/q_0}{\pi_{UP}} = 1.00487 \times \frac{0.3094125}{0.5} +
+
vUP=1.00487×0.618825=0.6217≈0.62 +v_{UP} = 1.00487 \times 0.618825 = 0.6217 \approx 0.62 +
+
vDOWN=Rfq0⋅qDOWNπDOWN=Rf⋅qDOWN/q0πDOWN=1.00487×0.68573750.5 +v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} = R_f \cdot \frac{q_{DOWN}/q_0}{\pi_{DOWN}} = 1.00487 \times \frac{0.6857375}{0.5} +
+
vDOWN=1.00487×1.371475=1.3785≈1.38 +v_{DOWN} = 1.00487 \times 1.371475 = 1.3785 \approx 1.38 +
+
+ + + \ No newline at end of file diff --git a/P190 期权定价/命题一举例 期权定价.md b/P190 期权定价/命题一举例 期权定价.md new file mode 100644 index 0000000..3c58955 --- /dev/null +++ b/P190 期权定价/命题一举例 期权定价.md @@ -0,0 +1,232 @@ +## 资产价格方程 + +### 第一步：理解一般形式（8A-11） + +一般形式的资产定价方程为： + +\[ +- q_{(s, t)} \, p_{n}(s, t) + \sum_{z \in \Omega(s, t)} q_{(z, t+1)} \, p_{n}(z, t+1) = 0 +\] + +**经济解释**： +- 第一项：\( -q_{(s, t)} \, p_{n}(s, t) \) 表示在状态 \( (s, t) \) 购买资产所花费的**当前价值**。 +- 第二项：\( \sum_{z} q_{(z, t+1)} \, p_{n}(z, t+1) \) 表示所有可能后继状态资产价值的**当前价值**之和。 +- 等式为零是**无套利条件**的体现：购买资产的成本现值等于其未来所有可能价值的期望现值。 + +### 第二步：将一般形式应用到单期模型 + +我们的例子是一个简单的**单期模型**： +- 时间点：\( t = 0 \)（现在）和 \( t = 1 \)（一个月后）。 +- 在 \( t = 0 \)，只有一个状态，记为 \( s_{0} \)。 +- 在 \( t = 1 \)，有两个可能状态：\( UP \) 和 \( DOWN \)，即 \( \Omega(s_{0}) = \{ UP, \, DOWN \} \)。 + +在这个设定下，一般形式 \( (8A-11) \) 中的 \( (s, t) \) 特指初始状态 \( (s_{0}, 0) \)。 + +### 第三步：推导无风险资产的方程（8A-19） + +令资产 \( n \) 为**无风险资产**。 + +1. **在状态 \( (s_{0}, 0) \)**: + - 价格 \( p_{\text{无风险}}(s_{0}, 0) = 1 \)（以1美元为单位）。 + - 对应的状态价格为 \( q_{(s_{0}, 0)} \)，在书中记为 \( q_{0} \)。 + +2. **在后续状态 \( z \in \{ UP, \, DOWN \} \)**: + - 无风险资产在 \( t=1 \) 时刻的回报均为 \( R_{f} = 1.00487 \)，即 \( p_{\text{无风险}}(z, 1) = R_{f} \)。 + - 对应的状态价格为 \( q_{(z, 1)} \)，在书中记为 \( q_{UP} \) 和 \( q_{DOWN} \)。 + +3. **代入一般形式（8A-11）**： + 将具体值代入方程 \( -q_{(s,t)} \, p_{n}(s,t) + \sum_{z} q_{(z,t+1)} \, p_{n}(z,t+1) = 0 \)： + + \[ + - q_{0} \times 1 + \left( q_{UP} \times R_{f} + q_{DOWN} \times R_{f} \right) = 0 + \] + 简化后得到： + + \[ + -q_{0} + R_{f} \, (q_{UP} + q_{DOWN}) = 0 + \] + 移项后，得到书中的方程（8A-19）： + + \[ + q_{0} - (q_{UP} \cdot R_{f} + q_{DOWN} \cdot R_{f}) = 0 + \] + （注：关于 \( q_{DOWN} \) 前的符号，其核心经济含义是 \( q_{0} = R_{f} (q_{UP} + q_{DOWN}) \)，即无风险资产的定价约束。） + +### 第四步：推导风险资产（股票）的方程（8A-20） + +令资产 \( n \) 为**股票**。 + +1. **在状态 \( (s_{0}, 0) \)**:K, + - 价格 \( p_{\text{股票}}(s_{0}, 0) = 50 \)。 + - 对应的状态价格仍为 \( q_{0} \)。 + +2. **在后续状态 \( z \in \{ UP, \, DOWN \} \)**: + - 在 \( UP \) 状态，股票价格 \( p_{\text{股票}}(UP, 1) = 53 \)，状态价格为 \( q_{UP} \)。 + - 在 \( DOWN \) 状态，股票价格 \( p_{\text{股票}}(DOWN, 1) = 49 \)，状态价格为 \( q_{DOWN} \)。 + +3. **代入一般形式（8A-11）**： + 将具体值代入方程： + + \[ + - q_{0} \times 50 + \left( q_{UP} \times 53 + q_{DOWN} \times 49 \right) = 0 + \] + 移项后，得到书中的方程（8A-20）： + + \[ + q_{0} \cdot 50 - (q_{UP} \cdot 53 + q_{DOWN} \cdot 49) = 0 + \] + （同样，其核心是 \( 50 \, q_{0} = 53 \, q_{UP} + 49 \, q_{DOWN} \)，即股票的无套利定价约束。） + +--- +## 推导 \( v_{UP} \) 和 \( v_{DOWN} \) 的表达式 + + +### **风险中性概率的表达式** + +从风险中性概率的定义公式（ (8A-15) 在单期模型下的形式）： + +\[ +\pi^*(s) = \frac{1 + i_F}{q_0} \cdot q_s +\] +其中 \( 1 + i_F = R_f \)，所以： + +\[ +\pi^*(s) = \frac{R_f}{q_0} \cdot q_s \quad \text{(B)} +\] + +--- + +### **推导估值乘子表达式** +由 (8A-18) 可得: + +\[ +v(s) = \frac{\pi^*(s)}{\pi(s)} \quad \text{(A)} +\] + +将 (B) 式代入 (A) 式： + +\[ +v(s) = \frac{\frac{R_f}{q_0} \cdot q_s}{\pi(s)} +\] + +直接得到： + +\[ +v(s) = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_s}{\pi(s)} +\] + +对于上涨和下跌状态： + +\[ +v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}}, \quad v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} +\] + +这就是我们要求的正确形式的估值乘子表达式。 + +--- +## 解方程求最终结果 + +### **第一步：从方程组中求出 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)** + +我们不需要单独求出 \( q_0, q_{UP}, q_{DOWN} \)，只需要求出它们的比值 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，因为估值乘子公式中只依赖于这些比值。 + +将方程组 (1) 和 (2) 两边同时除以 \( q_0 \)（因为 \( q_0 > 0 \)，可以这样操作）： + +令 \( x = \frac{q_{UP}}{q_0} \), \( y = \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，则方程组变为： + +\[ +\begin{cases} +1 - R_f \cdot x - R_f \cdot y = 0 \quad &(1') \\ +50 - 53 x - 49 y = 0 \quad &(2') +\end{cases} +\] + +--- + +### **第二步：求解比值 \( x \) 和 \( y \)** + +由方程 (1')： + +\[ +R_f (x + y) = 1 +\] + +\[ +x + y = \frac{1}{R_f} \quad (3) +\] + +由方程 (2')： + +\[ +53 x + 49 y = 50 \quad (4) +\] + +现在解方程组 (3) 和 (4)： + +从 (3) 得：\( y = \frac{1}{R_f} - x \) + +代入 (4)： + +\[ +53 x + 49 \left( \frac{1}{R_f} - x \right) = 50 +\] + +\[ +53 x + \frac{49}{R_f} - 49 x = 50 +\] + +\[ +4 x + \frac{49}{R_f} = 50 +\] + +\[ +4 x = 50 - \frac{49}{R_f} +\] + +\[ +x = \frac{50 - \frac{49}{R_f}}{4} +\] + +代入 \( R_f = 1.00487 \)： + +\[ +x = \frac{50 - \frac{49}{1.00487}}{4} = \frac{50 - 48.76235}{4} = \frac{1.23765}{4} = 0.3094125 +\] + +现在求 \( y \)： + +\[ +y = \frac{1}{R_f} - x = 0.99515 - 0.3094125 = 0.6857375 +\] + +所以： + +\[ +\frac{q_{UP}}{q_0} = x = 0.3094125, \quad \frac{q_{DOWN}}{q_0} = y = 0.6857375 +\] + +--- + +### **第三步：代入估值乘子公式** + +现在代入正确的估值乘子公式： + + +\[ +v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}} = R_f \cdot \frac{q_{UP}/q_0}{\pi_{UP}} = 1.00487 \times \frac{0.3094125}{0.5} +\] + +\[ +v_{UP} = 1.00487 \times 0.618825 = 0.6217 \approx 0.62 +\] + + +\[ +v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} = R_f \cdot \frac{q_{DOWN}/q_0}{\pi_{DOWN}} = 1.00487 \times \frac{0.6857375}{0.5} +\] + +\[ +v_{DOWN} = 1.00487 \times 1.371475 = 1.3785 \approx 1.38 +\] + +--- diff --git a/P191 命题2/命题2.md b/P191 命题2/命题2.md new file mode 100644 index 0000000..f7eeeb4 --- /dev/null +++ b/P191 命题2/命题2.md @@ -0,0 +1,276 @@ + +## **推导(8A-24)** + +### **1. 设定与优化问题** + +考虑一个有无风险资产的市场： +- 无风险收益率：\(R_F\) +- \(N\) 个风险资产，随机收益向量 \(\mathbf{R} = [R_1, R_2, \dots, R_N]^T\) +- 风险资产的预期收益向量：\(E[\mathbf{R}] = [E[R_1], E[R_2], \dots, E[R_N]]^T\) +- 协方差矩阵：\(V\)，其中 \(V_{i,j} = \mathrm{Cov}(R_i, R_j)\) +- 定义预期超额收益向量： + +\[ +\boldsymbol{\alpha} = E[\mathbf{R}] - R_F \mathbf{1} +\] +其中 \(\mathbf{1}\) 是元素全为 1 的向量。 + +投资者在风险资产上的权重向量为 \(\mathbf{h}\)，求解： + +\[ +\max_{\mathbf{h}} \ \mathbf{h}^T \boldsymbol{\alpha} - \frac{\lambda}{2} \mathbf{h}^T V \mathbf{h} +\] +这里不考虑预算约束（可通过无风险资产借贷调节），\(\lambda > 0\) 是风险厌恶系数。 + +--- + +### **2. 一阶条件与切点组合** + +对 \(\mathbf{h}\) 求导得一阶条件： + +\[ +\boldsymbol{\alpha} - \lambda V \mathbf{h} = 0 +\] +即： + +\[ +\boldsymbol{\alpha} = \lambda V \mathbf{h} \tag{1} +\] + +在均衡中，所有投资者持有相同比例的风险资产组合——**切点组合 \(Q\)**，记其风险资产权重为 \(\mathbf{h}_Q\)，满足： + +\[ +E[\mathbf{R}] - R_F \mathbf{1} = \lambda V \mathbf{h}_Q \tag{2} +\] + +--- + +### **3. 单个资产的定价关系** + +(2) 是向量等式，取第 \(n\) 个分量： + +\[ +E[R_n] - R_F = \lambda (V \mathbf{h}_Q)_n \tag{3} +\] +其中 \((V \mathbf{h}_Q)_n\) 是向量 \(V \mathbf{h}_Q\) 的第 \(n\) 个元素。 + +--- + +### **4. 证明 \((V \mathbf{h}_Q)_n = \mathrm{Cov}(R_n, R_Q)\)** + +组合 \(Q\) 的收益率为： + +\[ +R_Q = \mathbf{h}_Q^T \mathbf{R} = \sum_{j=1}^N h_{Q,j} R_j +\] +计算协方差： + +\[ +\mathrm{Cov}(R_n, R_Q) = \mathrm{Cov}\left(R_n, \sum_{j=1}^N h_{Q,j} R_j\right) = \sum_{j=1}^N h_{Q,j} \mathrm{Cov}(R_n, R_j) +\] +因为 \(\mathrm{Cov}(R_n, R_j) = V_{n,j}\)，所以： + +\[ +\mathrm{Cov}(R_n, R_Q) = \sum_{j=1}^N V_{n,j} h_{Q,j} = (V \mathbf{h}_Q)_n +\] +代入 (3) 得： + +\[ +E[R_n] - R_F = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) \tag{4} +\] + +--- + +### **5. 确定风险价格 \(\lambda\)** + +对组合 \(Q\) 本身应用 (4)： + +\[ +E[R_Q] - R_F = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(R_Q, R_Q) = \lambda \cdot \mathrm{Var}(R_Q) +\] +记 \(f_Q = E[R_Q] - R_F\)，\(\sigma_Q^2 = \mathrm{Var}(R_Q)\)，则： + +\[ +f_Q = \lambda \sigma_Q^2 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \tag{5} +\] + +--- + +### **6. 得到 CAPM 型定价公式** + +将 (5) 代入 (4)： + +\[ +E[R_n] - R_F = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) +\] +定义： + +\[ +\beta_{n,Q} = \frac{\mathrm{Cov}(R_n, R_Q)}{\sigma_Q^2} +\] +则： + +\[ +E[R_n] - R_F = \beta_{n,Q} \cdot f_Q = \beta_{n,Q} \cdot (E[R_Q] - R_F) \tag{6} +\] + +--- + +### **7. 写成 (8A-24) 的形式** + +记超额收益率 \(r_n = R_n - R_F\)，\(r_Q = R_Q - R_F\)，则： + +\[ +\mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = \mathrm{Cov}(R_n - R_F, R_Q - R_F) = \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) +\] +由 (5) 和 (4)： + +\[ +E[r_n] = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) +\] +令： + +\[ +\kappa = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} +\] +则： + +\[ +E[R_n] = R_F + \kappa \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) \tag{8A-24} +\] + +--- + +## **从 (8A-24) 到 (8A-26)** + +随机折现因子 \(v(s)\) 满足： + +\[ +E[v R_n] = R_F \quad (8\text{-}17) +\] +且 \(E[v] = 1\)。 + +由 (8A-25)： + +\[ +\mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = E[R_n (r_Q - f_Q)] +\] +代入 (8A-24)： + +\[ +E[R_n] = R_F + \kappa \cdot E[R_n (r_Q - f_Q)] +\] +把 \(E[R_n]\) 移到左边： + +\[ +E[R_n] - \kappa \cdot E[R_n (r_Q - f_Q)] = R_F +\] +即： + +\[ +E\left[ R_n \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q - f_Q) \right) \right] = R_F \quad (8A\text{-}26) +\] + +--- + +## **3. 与 SDF 公式比较** + +由 (8-17)： + +\[ +E[v R_n] = R_F +\] +比较 (8A-26)： + +\[ +E\left[ R_n \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q - f_Q) \right) \right] = E[v R_n] +\] +这对任意资产 \(n\) 都成立。 + +--- + +## **4. 推导 \(v(s)\) 的形式** + +要使： + +\[ +E\left[ R_n(s) \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) \right) \right] = E[ R_n(s) \cdot v(s) ] \quad \forall n +\] +必须（在无冗余资产下）有： + +\[ +v(s) = 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) + \varepsilon(s) +\] +其中 \(\varepsilon(s)\) 与所有 \(R_n(s)\) 正交：\(E[\varepsilon R_n] = 0\)。 + +如果我们假设市场完全（即所有风险可由资产收益张成），则 \(\varepsilon(s) \equiv 0\)。 +于是： + +\[ +v(s) = 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) \quad (8A\text{-}21) +\] + +--- + +## **5. 确定 \(\kappa\)** + +由 \(E[v] = 1\)： + +\[ +E[1 - \kappa (r_Q - f_Q)] = 1 +\] +即： + +\[ +1 - \kappa (E[r_Q] - f_Q) = 1 +\] +但 \(E[r_Q] = f_Q\)，所以自动满足，无法确定 \(\kappa\)。 + +实际上 \(\kappa\) 由 \(v\) 与 \(R_Q\) 的关系进一步确定。 +由 \(E[v R_Q] = R_F\)： + +\[ +E\left[ (1 - \kappa (r_Q - f_Q)) R_Q \right] = R_F +\] +代入 \(R_Q = r_Q + R_F\)： + +\[ +E\left[ (1 - \kappa (r_Q - f_Q)) (r_Q + R_F) \right] = R_F +\] +展开： + +\[ +E[r_Q + R_F - \kappa r_Q (r_Q + R_F) + \kappa f_Q (r_Q + R_F)] = R_F +\] +利用 \(E[r_Q] = f_Q\)，整理得： + +\[ +f_Q + R_F - \kappa E[r_Q^2] - \kappa R_F f_Q + \kappa f_Q^2 + \kappa R_F f_Q = R_F +\] + +\[ +f_Q + R_F - \kappa E[r_Q^2] + \kappa f_Q^2 = R_F +\] + +\[ +f_Q - \kappa (E[r_Q^2] - f_Q^2) = 0 +\] + +\[ +f_Q - \kappa \sigma_Q^2 = 0 +\] +所以： + +\[ +\kappa = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \quad (8A\text{-}22) +\] + +--- + +**最终**： + +\[ +\boxed{v(s) = 1 - \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot (r_Q(s) - f_Q)} +\] +这就是 (8A-21) 的完整推导。 + diff --git a/资产资本定价定理/资产资本定价定理.md b/资产资本定价定理/资产资本定价定理.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29