843 B
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你给的公式 (8-8)：
[ E^*{cf(t)} = E{v(t) \cdot cf(t)} = \sum_s \pi(t,s) \cdot v(t,s) \cdot cf(t,s) ]
其中 (v(t,s)) 满足：
- 正值；
- 期望值等于 1。
在我们之前的推导中，
[ v(s,T) = \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)} ] 并且
[ \sum_s \pi(s,T) v(s,T) = \sum_s \pi^*(s,T) = 1 ] 即 (\mathbb{E}_\pi[v(s,T)] = 1)。
这正是你这里说的 期望值等于 1 的条件。
好的，我们先明确已知条件，然后推导出 (8-14)。
(8-14) 式推导：
[ E^*{cf(t)} = \mathrm{Cov}{cf(t), v(t)} + E{cf(t)} ] 推导过程很简单：
[ E^*[cf(t)] = E[v(t) \cdot cf(t)] ] 由协方差公式：
[ E[v \cdot cf] = \mathrm{Cov}(v, cf) + E[v] \cdot E[cf] ]
已知 (E[v(t)] = 1)，所以：
[ E^*[cf(t)] = \mathrm{Cov}(cf(t), v(t)) + E[cf(t)] ] 成立。