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推导(8A-24)
1. 设定与优化问题
考虑一个有无风险资产的市场：
- 无风险收益率：(R_F)
- (N) 个风险资产，随机收益向量 (\mathbf{R} = [R_1, R_2, \dots, R_N]^T)
- 风险资产的预期收益向量：(E[\mathbf{R}] = [E[R_1], E[R_2], \dots, E[R_N]]^T)
- 协方差矩阵：(V)，其中 (V_{i,j} = \mathrm{Cov}(R_i, R_j))
- 定义预期超额收益向量：
[ \boldsymbol{\alpha} = E[\mathbf{R}] - R_F \mathbf{1} ] 其中 (\mathbf{1}) 是元素全为 1 的向量。
投资者在风险资产上的权重向量为 (\mathbf{h})，求解：
[ \max_{\mathbf{h}} \ \mathbf{h}^T \boldsymbol{\alpha} - \frac{\lambda}{2} \mathbf{h}^T V \mathbf{h} ] 这里不考虑预算约束（可通过无风险资产借贷调节），(\lambda > 0) 是风险厌恶系数。
2. 一阶条件与切点组合
对 (\mathbf{h}) 求导得一阶条件：
[ \boldsymbol{\alpha} - \lambda V \mathbf{h} = 0 ] 即：
[ \boldsymbol{\alpha} = \lambda V \mathbf{h} \tag{1} ]
在均衡中，所有投资者持有相同比例的风险资产组合——切点组合 (Q)，记其风险资产权重为 (\mathbf{h}_Q)，满足：
[ E[\mathbf{R}] - R_F \mathbf{1} = \lambda V \mathbf{h}_Q \tag{2} ]
3. 单个资产的定价关系
(2) 是向量等式，取第 (n) 个分量：
[ E[R_n] - R_F = \lambda (V \mathbf{h}_Q)_n \tag{3} ] 其中 ((V \mathbf{h}_Q)_n) 是向量 (V \mathbf{h}_Q) 的第 (n) 个元素。
4. 证明 ((V \mathbf{h}_Q)_n = \mathrm{Cov}(R_n, R_Q))
组合 (Q) 的收益率为：
[ R_Q = \mathbf{h}Q^T \mathbf{R} = \sum{j=1}^N h_{Q,j} R_j ] 计算协方差：
[ \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) = \mathrm{Cov}\left(R_n, \sum_{j=1}^N h_{Q,j} R_j\right) = \sum_{j=1}^N h_{Q,j} \mathrm{Cov}(R_n, R_j) ] 因为 (\mathrm{Cov}(R_n, R_j) = V_{n,j})，所以：
[ \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) = \sum_{j=1}^N V_{n,j} h_{Q,j} = (V \mathbf{h}_Q)_n ] 代入 (3) 得：
[ E[R_n] - R_F = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) \tag{4} ]
5. 确定风险价格 (\lambda)
对组合 (Q) 本身应用 (4)：
[ E[R_Q] - R_F = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(R_Q, R_Q) = \lambda \cdot \mathrm{Var}(R_Q) ] 记 (f_Q = E[R_Q] - R_F)，(\sigma_Q^2 = \mathrm{Var}(R_Q))，则：
[ f_Q = \lambda \sigma_Q^2 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \tag{5} ]
6. 得到 CAPM 型定价公式
将 (5) 代入 (4)：
[ E[R_n] - R_F = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) ] 定义：
[ \beta_{n,Q} = \frac{\mathrm{Cov}(R_n, R_Q)}{\sigma_Q^2} ] 则：
[ E[R_n] - R_F = \beta_{n,Q} \cdot f_Q = \beta_{n,Q} \cdot (E[R_Q] - R_F) \tag{6} ]
7. 写成 (8A-24) 的形式
记超额收益率 (r_n = R_n - R_F)，(r_Q = R_Q - R_F)，则：
[ \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = \mathrm{Cov}(R_n - R_F, R_Q - R_F) = \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) ] 由 (5) 和 (4)：
[ E[r_n] = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) ] 令：
[ \kappa = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} ] 则：
[ E[R_n] = R_F + \kappa \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) \tag{8A-24} ]
从 (8A-24) 到 (8A-26)
随机折现因子 (v(s)) 满足：
[ E[v R_n] = R_F \quad (8\text{-}17) ] 且 (E[v] = 1)。
由 (8A-25)：
[ \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = E[R_n (r_Q - f_Q)] ] 代入 (8A-24)：
[ E[R_n] = R_F + \kappa \cdot E[R_n (r_Q - f_Q)] ] 把 (E[R_n]) 移到左边：
[ E[R_n] - \kappa \cdot E[R_n (r_Q - f_Q)] = R_F ] 即：
[ E\left[ R_n \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q - f_Q) \right) \right] = R_F \quad (8A\text{-}26) ]
3. 与 SDF 公式比较
由 (8-17)：
[ E[v R_n] = R_F ] 比较 (8A-26)：
[ E\left[ R_n \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q - f_Q) \right) \right] = E[v R_n] ] 这对任意资产 (n) 都成立。
4. 推导 (v(s)) 的形式
要使：
[ E\left[ R_n(s) \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) \right) \right] = E[ R_n(s) \cdot v(s) ] \quad \forall n ] 必须（在无冗余资产下）有：
[ v(s) = 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) + \varepsilon(s) ] 其中 (\varepsilon(s)) 与所有 (R_n(s)) 正交：(E[\varepsilon R_n] = 0)。
如果我们假设市场完全（即所有风险可由资产收益张成），则 (\varepsilon(s) \equiv 0)。
于是：
[ v(s) = 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) \quad (8A\text{-}21) ]
5. 确定 (\kappa)
由 (E[v] = 1)：
[ E[1 - \kappa (r_Q - f_Q)] = 1 ] 即：
[ 1 - \kappa (E[r_Q] - f_Q) = 1 ] 但 (E[r_Q] = f_Q)，所以自动满足，无法确定 (\kappa)。
实际上 (\kappa) 由 (v) 与 (R_Q) 的关系进一步确定。
由 (E[v R_Q] = R_F)：
[ E\left[ (1 - \kappa (r_Q - f_Q)) R_Q \right] = R_F ] 代入 (R_Q = r_Q + R_F)：
[ E\left[ (1 - \kappa (r_Q - f_Q)) (r_Q + R_F) \right] = R_F ] 展开：
[ E[r_Q + R_F - \kappa r_Q (r_Q + R_F) + \kappa f_Q (r_Q + R_F)] = R_F ] 利用 (E[r_Q] = f_Q)，整理得：
[ f_Q + R_F - \kappa E[r_Q^2] - \kappa R_F f_Q + \kappa f_Q^2 + \kappa R_F f_Q = R_F ]
[ f_Q + R_F - \kappa E[r_Q^2] + \kappa f_Q^2 = R_F ]
[ f_Q - \kappa (E[r_Q^2] - f_Q^2) = 0 ]
[ f_Q - \kappa \sigma_Q^2 = 0 ] 所以：
[ \kappa = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \quad (8A\text{-}22) ]
最终：
[ \boxed{v(s) = 1 - \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot (r_Q(s) - f_Q)} ] 这就是 (8A-21) 的完整推导。