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2025-10-13 17:16:27 +08:00
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58
P178/风险调整期望.md Normal file
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@ -0,0 +1,58 @@
你给的公式 (8-8)：
\[
E^*\{cf(t)\} = E\{v(t) \cdot cf(t)\} = \sum_s \pi(t,s) \cdot v(t,s) \cdot cf(t,s)
\]
其中 \(v(t,s)\) 满足：
- 正值；
- 期望值等于 1。
---
在我们之前的推导中，
\[
v(s,T) = \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)}
\]
并且
\[
\sum_s \pi(s,T) v(s,T) = \sum_s \pi^*(s,T) = 1
\]
即 \(\mathbb{E}_\pi[v(s,T)] = 1\)。
这正是你这里说的 **期望值等于 1** 的条件。
---
好的，我们先明确已知条件，然后推导出 (8-14)。
---
## (8-14) 式推导：
\[
E^*\{cf(t)\} = \mathrm{Cov}\{cf(t), v(t)\} + E\{cf(t)\}
\]
推导过程很简单：
\[
E^*[cf(t)] = E[v(t) \cdot cf(t)]
\]
由协方差公式：
\[
E[v \cdot cf] = \mathrm{Cov}(v, cf) + E[v] \cdot E[cf]
\]
已知 \(E[v(t)] = 1\)，所以：
\[
E^*[cf(t)] = \mathrm{Cov}(cf(t), v(t)) + E[cf(t)]
\]
成立。
---

21
P179/v(t)的期望值是1.md Normal file
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@ -0,0 +1,21 @@
由定义：
\[
v(s,T) = \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)}
\]
因为比较两个求和式可得：
\[
\pi(s,T) v(s,T) = \pi^*(s,T)
\]
所以：
\[
v(s,T) = \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)}
\]
于是：
\[
\mathbb{E}_\pi[v(s,T)] = \sum_{s} \pi(s,T) \cdot \frac{\pi^*(s,T)}{\pi(s,T)} = \sum_{s} \pi^*(s,T) = 1
\]

84
P188 命题1/3 原问题为什么是线性规划问题.md Normal file
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@ -0,0 +1,84 @@
## **一、线性规划的定义**
一个优化问题是线性规划（Linear Program）当且仅当：
1. **目标函数**是决策变量的线性函数
2. **所有约束**都是决策变量的线性等式或不等式
3. 决策变量可以有界或无界（但通常有非负约束）
数学形式：
\[
\begin{aligned}
&\max(\text{或 } \min) \quad c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n \\
&\text{s.t.} \quad a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 \\
&\quad \quad a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\
&\quad \quad \cdots \\
&\quad \quad x_i \geq 0 \quad (\text{部分或全部变量})
\end{aligned}
\]
---
## **二、原问题的线性性分析**
### **2.1 目标函数的线性性**
原问题目标：
\[
\text{Maximize} \quad Z = \sum_{s \in \Phi(T)} W(s,T)
\]
这显然是 \(W(s,T)\) 的**线性函数**：
- 每个 \(W(s,T)\) 的系数为 1
- 没有交叉项、没有非线性函数
---
### **2.2 约束条件的线性性**
#### **(1) 初始资金约束**
\[
\sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(1,0) \cdot p_n(1,0) \leq 0
\]
- \(p_n(1,0)\) 是**已知常数**（在时点0的价格）
- \(\mathrm{NS}_n(1,0)\) 是决策变量
- 这是决策变量的**线性组合** ≤ 常数
#### **(2) 自融资约束**
\[
-\sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(s,t) \cdot p_n(s,t) + \sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(\phi(s,t),t-1) \cdot p_n(s,t) = 0
\]
- \(p_n(s,t)\) 是**已知常数**（在节点 \((s,t)\) 的价格）
- \(\mathrm{NS}_n(s,t)\) 和 \(\mathrm{NS}_n(\phi(s,t),t-1)\) 是决策变量
- 这是决策变量的**线性组合** = 常数
#### **(3) 终端财富定义**
\[
-\sum_{n=0}^N \mathrm{NS}_n(s,T) \cdot p_n(s,T) + W(s,T) = 0
\]
- \(p_n(s,T)\) 是**已知常数**
- \(\mathrm{NS}_n(s,T)\) 和 \(W(s,T)\) 是决策变量
- 决策变量的**线性组合** = 常数
#### **(4) 终端财富非负**
\[
W(s,T) \geq 0
\]
- 简单的变量非负约束，是线性的
---
### **2.3 决策变量的性质**
所有决策变量：
- \(\mathrm{NS}_n(s,t)\)：**自由变量**（可正可负，表示可以做多或做空）
- \(W(s,T)\)：**非负变量**
自由变量在LP中可以通过变量替换 \(x = x^+ - x^-\) 处理，其中 \(x^+ \geq 0, x^- \geq 0\)。
---

199
P188 命题1/4 对偶问题的金融含义.md Normal file
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@ -0,0 +1,199 @@
## **状态价格密度（State Price Density）**
### **1 基本思想**
\( q(s,t) \) 是**状态价格密度**（State Price Density），也称为**随机折现因子**（Stochastic Discount Factor）。
更准确地说：
- \( q(s,t) \) 表示在**当前时刻 0**，为了在**未来状态 \((s,t)\)** 获得 1 单位现金所需要支付的**当前价格**
### **2 举例说明**
假设：
- \( t=0 \)（现在）
- \( (s,t) = (\text{"经济繁荣"}, 1) \)（一年后经济繁荣的状态）
那么：
- \( q(\text{"繁荣"}, 1) = 0.85 \) 意味着：
- 为了在一年后（当经济繁荣时）获得 1 元钱
- 现在需要支付 0.85 元
---
## **对偶约束的经济推导**
### **1 主要约束 (8A-11) 的经济含义**
\[
-q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1) = 0
\]
**经济解释**：
- 第一项：\( -q(s,t) p_n(s,t) \) = 在状态 \((s,t)\) 购买资产花费的**当前价值**
- 第二项：\( \sum_{z} q(z,t+1) p_n(z,t+1) \) = 所有可能后继状态资产价值的**当前价值**
- 等式为零：**无套利条件**——购买成本等于期望收益的现值
**重新整理**：
\[
p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1)
\]
这正是资产定价的基本公式！
### **2 为什么对所有资产 \( n \) 都要成立？**
如果存在某个资产不满足这个关系，比如：
\[
p_n(s,t) < \sum_{z} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1)
\]
那么可以在 \((s,t)\) 买入资产，在所有后继状态卖出，获得无风险利润——这就是套利机会。
因此，**无套利** ⇔ 对所有资产 \( n \) 都满足这个定价关系。
---
## **3 终端约束 (8A-13) 的经济含义**
\[
q(s,T) \geq 1
\]
**经济解释**：
- 考虑一个在终端状态 \( s \) 支付1单位的 Arrow-Debreu 证券
- 它的价格应该是 \( q(s,T) \)（根据状态价格密度定义）
- 如果 \( q(s,T) < 1 \)，就可以低成本购买这种证券，在终端获得确定收益，构成套利
- 因此无套利要求 \( q(s,T) \geq 1 \)
**更深入的理解**：
实际上，通过适当的归一化，我们可以得到 \( q(s,T) \geq 1 \)。这确保了状态价格密度不会"太小"。
---
## **4 初始约束 (8A-12) 的经济含义**
\[
q(1,0) \geq 0
\]
**经济解释**：
- \( q(1,0) \) 表示当前确定性的1单位资产的价值
- 这显然应该非负（通常标准化为 \( q(1,0) = 1 \)）
- 负值没有经济意义
---
## **对偶目标函数的经济直觉**
### **1 为什么是 \( \min \sum q(s,t) \) ？**
\[
\text{Minimize} \quad \sum_{t=0}^T \sum_{s \in \Phi(t)} q(s,t)
\]
**经济解释**：
1. **打破缩放不变性**：
- 如果 \( q(s,t) \) 是一组状态价格密度，那么 \( \alpha q(s,t) \)（\( \alpha > 0 \)）也是
- 需要目标函数来选择唯一的代表性解
2. **寻找"最紧"的估值**：
- 最小化总和相当于寻找**最小的可能状态价格**
- 这对应最保守（最不乐观）的估值
3. **经济效率**：
- 在均衡中，状态价格密度应该尽可能"小"，反映资源的稀缺性
- 最小化总和与福利最大化有对偶关系
### **2 与其他归一化方式的比较**
- **固定根节点**：\( q(1,0) = 1 \)（常见选择）
- **固定终端和**：\( \sum_{s} q(s,T) = 1 \)
- **最小化总和**：\( \min \sum_{t,s} q(s,t) \)（书中选择）
书中选择的好处：**自动确定所有时期的相对比例**，而不仅仅是某个时点。
---
## **"最紧的估值"的含义**
### **1 直观理解**
"最紧的估值"指的是：**最保守、最悲观的市场估值**
- **宽松估值**：状态价格 \(q(s,t)\) 较大 → 市场对未来状态赋予较高价值
- **紧估值**：状态价格 \(q(s,t)\) 较小 → 市场对未来状态赋予较低价值
### **2 数学表达**
考虑定价公式：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}\]
- \(v(s,T) = \frac{1}{\prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))}\) 是累积折现因子
- \(p_n(s,T)\) 给定的资产终端价格
- 如果 \(q(s,T)\) **较大** → 资产现价 **较高**
- 如果 \(q(s,T)\) **较小** → 资产现价 **较低**
因此，**最小化 \(q(s,T)\) 总和相当于给出最低的资产估值**。
---
## **与 \(W(s,T)\) 的关系**
### **1 关键洞察**
**最小化 \(\sum q(s,t)\) ⇔ 在给定价格下寻找最大的潜在套利空间**
### **2 对偶关系**
回忆原始问题：
- **原始问题**：\(\max \sum W(s,T)\)，给定市场价格约束
- **对偶问题**：\(\min \sum q(s,t)\)，给定定价关系约束
在强对偶成立时：
\[
\max \sum W(s,T) = \min \sum q(s,t) = 0 \quad (\text{无套利时})
\]
### **3 具体机制**
如果市场存在错误定价：
- **宽松的 \(q\)**（较大的状态价格）：可能"掩盖"套利机会
- **紧的 \(q\)**（最小的状态价格）：会"暴露"套利机会
**例子**：
假设某个资产被高估，存在套利机会：
- 使用**宽松的 \(q\)**：可能仍然满足定价公式，不显示套利
- 使用**最紧的 \(q\)**：定价公式被违反，暴露出 \(\sum W(s,T) > 0\) 的套利策略
---
## **经济直觉**
### **1 "最保守的估值者"**
想象一个**极其悲观的投资者**：
- 他对所有未来状态都赋予最低的可能价值
- 他用这些最低价值来评估所有资产
- 如果即使在这种最悲观的估值下，某个资产仍然显得便宜，那么**肯定存在套利**
数学上：
\[
\begin{aligned}
&\text{如果 } \min_q \sum q(s,t) \text{ 对应的资产估值} < \text{市场价格} \\
&\Rightarrow \text{存在套利机会} \\
&\Rightarrow \max_W \sum W(s,T) > 0
\end{aligned}
\]
### **2 与原始问题的联系**
原始问题问："在给定价格下，最多能赚多少钱？"
对偶问题问："最悲观的市场估值是多少？"
如果"最悲观估值"仍然高于市场价格 → 存在套利

175
P188 命题1/6 定价公式推导.md Normal file
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@ -0,0 +1,175 @@
在离散时间多期金融市场中，如果存在无套利机会，则对于任意资产 \(n\) 和任意期限 \(T\)，其初始价格满足：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
其中：
- \(\Phi(T)\) 是 \(T\) 时刻的所有可能状态集合
- \(q(s,T)\) 是状态价格密度
- \(v(s,T) = \frac{1}{\prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))}\) 是累积折现因子
- \(p_0(s,T)\) 是无风险资产在状态 \(s\) 时刻 \(T\) 的价格
---
## **证明**
### **第一步：单期无套利条件**
由资产定价基本定理，无套利等价于存在严格正的状态价格密度 \(q(s,t) > 0\)，使得对任意资产 \(n\)，在任意节点 \((s,t)\) 有：
\[
p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1)
\tag{1}
\]
其中 \(\Omega(s,t)\) 是从节点 \((s,t)\) 可达的下一期状态集合。
---
### **第二步：递归展开**
从根节点 \((1,0)\) 开始，对资产 \(n\) 应用公式 (1)：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \frac{q(s_1,1)}{q(1,0)} p_n(s_1,1)
\tag{2}
\]
对每个 \(s_1 \in \Omega(1,0)\)，再次应用公式 (1)：
\[
p_n(s_1,1) = \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \frac{q(s_2,2)}{q(s_1,1)} p_n(s_2,2)
\]
代入公式 (2)：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \frac{q(s_1,1)}{q(1,0)} \left[ \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \frac{q(s_2,2)}{q(s_1,1)} p_n(s_2,2) \right]
\]
简化后：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \frac{q(s_2,2)}{q(1,0)} p_n(s_2,2)
\tag{3}
\]
---
### **第三步：多期推广**
重复上述过程 \(T\) 次，得到：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{q(1,0)} p_n(s,T)
\tag{4}
\]
其中 \(\Phi(T)\) 是 \(T\) 时刻的所有终端状态集合，求和遍历所有从根节点到终端节点的路径。
---
### **第四步：归一化处理**
选择归一化条件：
\[
q(1,0) = p_0(1,0)
\]
**为什么这样选择？**
- 状态价格密度 \(q(s,t)\) 的绝对数值没有独立的经济意义
- 只有相对比值 \(\frac{q(z,t+1)}{q(s,t)}\) 才有经济含义（决定资产价格）
- 我们可以自由选择一个方便的归一化条件
### **无风险资产价格的标准化**
通常我们设：
\[
p_0(1,0) = 1
\]
**经济解释**：
- 将初始时刻的无风险资产价格标准化为1单位
- 这相当于选择初始时刻的"计价单位"
- 不影响相对价格关系
### **代入推导**
将 \(q(1,0) = p_0(1,0) = 1\) 代入公式(4)：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{1} p_n(s,T)
\]
得到：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} q(s,T) p_n(s,T)
\tag{6}
\]
---
### **第五步：引入相对价格**
将公式 (5) 两边除以 \(p_0(1,0) = 1\)：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} q(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(1,0)}
\]
在右边分子分母同时乘以 \(p_0(s,T)\)：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} q(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} \cdot \frac{p_0(s,T)}{p_0(1,0)}
\tag{6}
\]
---
### **第六步：处理无风险资产累积**
对于无风险资产，沿任意路径 \(s_0 \to s_1 \to \cdots \to s_T = s\) 有：
\[
p_0(s,T) = p_0(1,0) \cdot \prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))
\]
由于 \(p_0(1,0) = 1\)，得：
\[
p_0(s,T) = \prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))
\]
定义累积折现因子：
\[
v(s,T) = \frac{p_0(1,0)}{p_0(s,T)} = \frac{1}{\prod_{k=0}^{T-1} (1 + i_F(s_k,k))}
\]
因此：
\[
\frac{p_0(s,T)}{p_0(1,0)} = \frac{1}{v(s,T)}
\]
---
### **第七步：最终推导**
将 \(\frac{p_0(s,T)}{p_0(1,0)} = \frac{1}{v(s,T)}\) 代入公式 (6)：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
由于 \(p_0(1,0) = 1\)，最终得到：
\[
\boxed{p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \frac{q(s,T)}{v(s,T)} \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}}
\]

216
P188 命题1/7 从对偶问题出发证明命题1.md Normal file
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@ -0,0 +1,216 @@
## **第一步：建立对偶问题**
我们从书中给出的对偶问题出发：
\[
\begin{aligned}
&\min \sum_{t=0}^T \sum_{s \in \Phi(t)} q(s,t) \\
&\text{s.t.} \quad -q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1) = 0 \quad (8A\text{-}11) \\
&\quad q(1,0) \ge 0 \quad (8A\text{-}12) \\
&\quad q(s,T) \ge 1 \quad (8A\text{-}13)
\end{aligned}
\]
其中约束(8A-11)对任意 \(n=0,1,\dots,N\)，任意 \(0 \le t < T\)，任意 \(s \in \Phi(t)\) 成立。
---
## **第二步：证明所有 \(q(s,t) > 0\)**
**证明**：
1. 由(8A-13)，对所有终端节点 \(s \in \Phi(T)\)，有 \(q(s,T) \ge 1 > 0\)。
2. 现在用逆向归纳法证明。假设对某个 \(t < T\)，对所有 \(s \in \Phi(t+1)\) 有 \(q(s,t+1) > 0\)，我们要证明对所有 \(s \in \Phi(t)\) 有 \(q(s,t) > 0\)。
3. 取无风险资产 \(n=0\)，代入约束(8A-11)：
\[
-q(s,t) p_0(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_0(z,t+1) = 0
\]
4. 由无风险资产性质：\(p_0(z,t+1) = (1 + i_F(s,t)) p_0(s,t)\)，代入得：
\[
-q(s,t) p_0(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) (1 + i_F(s,t)) p_0(s,t) = 0
\]
5. 两边除以 \(p_0(s,t) > 0\)：
\[
-q(s,t) + (1 + i_F(s,t)) \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) = 0
\]
6. 整理得：
\[
q(s,t) = (1 + i_F(s,t)) \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) \quad (8A\text{-}14)
\]
7. 由归纳假设，所有 \(q(z,t+1) > 0\)，且 \(1 + i_F(s,t) > 0\)，所以：
\[
q(s,t) > 0
\]
8. 由数学归纳法，对所有 \(s,t\)，有 \(q(s,t) > 0\)。
---
## **第三步：定义条件概率 \(\pi^*\)**
利用(8A-14)，定义条件概率：
\[
\pi^*(z,t+1|s,t) =
\begin{cases}
\frac{1 + i_F(s,t)}{q(s,t)} \cdot q(z,t+1) & \text{若 } z \in \Omega(s,t) \\
0 & \text{若 } z \notin \Omega(s,t)
\end{cases}
\quad (8A\text{-}15)
\]
**验证这是概率分布**：
由(8A-14)：
\[
\sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) = \frac{1 + i_F(s,t)}{q(s,t)} \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) = \frac{1 + i_F(s,t)}{q(s,t)} \cdot \frac{q(s,t)}{1 + i_F(s,t)} = 1
\]
且 \(\pi^*(z,t+1|s,t) > 0\) 对所有 \(z \in \Omega(s,t)\)（因为 \(q > 0\)）。
---
## **第四步：推导单期估值公式**
对任意资产 \(n\)，代入约束(8A-11)：
\[
-q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1) = 0
\]
由(8A-15)，\(q(z,t+1) = \frac{q(s,t)}{1 + i_F(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t)\)，代入得：
\[
-q(s,t) p_n(s,t) + \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(s,t)}{1 + i_F(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) p_n(z,t+1) = 0
\]
两边除以 \(q(s,t) > 0\)：
\[
-p_n(s,t) + \frac{1}{1 + i_F(s,t)} \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) p_n(z,t+1) = 0
\]
整理得：
\[
p_n(s,t) = \frac{1}{1 + i_F(s,t)} \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) p_n(z,t+1)
\]
两边除以 \(p_0(s,t)\)，利用 \(p_0(z,t+1) = (1 + i_F(s,t)) p_0(s,t)\)，得：
\[
\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1|s,t) \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)} \quad (8A\text{-}16)
\]
---
## **第五步：构造全局概率 \(\pi^*\)**
定义全局概率 \(\pi^*(s,t)\)：
1. 根节点：\(\pi^*(1,0) = 1\)
2. 递推定义：对任意 \(s \in \Phi(t+1)\)，
\[
\pi^*(s,t+1) = \pi^*(s,t+1|\phi(s,t+1),t) \cdot \pi^*(\phi(s,t+1),t) \quad (8A\text{-}17)
\]
其中 \(\phi(s,t+1)\) 是节点 \((s,t+1)\) 在时刻 \(t\) 的唯一前驱。
**验证这是概率分布**：
在时刻 \(t+1\)，
\[
\sum_{s \in \Phi(t+1)} \pi^*(s,t+1) = \sum_{s' \in \Phi(t)} \sum_{s \in \Omega(s',t)} \pi^*(s,t+1|s',t) \pi^*(s',t)
= \sum_{s' \in \Phi(t)} \pi^*(s',t) \underbrace{\sum_{s \in \Omega(s',t)} \pi^*(s,t+1|s',t)}_{=1} = \sum_{s' \in \Phi(t)} \pi^*(s',t)
\]
由归纳法，\(\sum_{s \in \Phi(t)} \pi^*(s,t) = 1\) 对所有 \(t\) 成立。
---
## **第六步：证明命题1的估值公式**
我们要证明：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) v(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
**证明**：
1. 由单期估值公式(8A-16)递归应用。从根节点开始：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \pi^*(s_1,1|1,0) \frac{p_n(s_1,1)}{p_0(s_1,1)}
\]
2. 对每个 \(s_1\)，再次应用(8A-16)：
\[
\frac{p_n(s_1,1)}{p_0(s_1,1)} = \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \pi^*(s_2,2|s_1,1) \frac{p_n(s_2,2)}{p_0(s_2,2)}
\]
3. 代入前式：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \pi^*(s_1,1|1,0) \pi^*(s_2,2|s_1,1) \frac{p_n(s_2,2)}{p_0(s_2,2)}
\]
4. 继续递归，直到时刻 \(T\)：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)} \left[ \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) \right] \frac{p_n(s_T,T)}{p_0(s_T,T)}
\]
5. 由全局概率定义(8A-17)，路径概率为：
(详见：路径概率式子详细推导)
\[
\pi^*(s_T,T) = \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k)
\]
其中 \(s_0 = 1\)。
6. 所以：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
两边乘以 \(p_0(1,0)\)：
\[
p_n(1,0) = p_0(1,0) \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
我们可以简单地**定义**：
\[
v(s,T) = \frac{p_0(1,0)}{\pi(s,T)} \cdot \pi^*(s,T)
\]
由前文知，我们已假设无风险资产的初始价格为1，即 \(p_0(1,0) = 1\)
则可以得出：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi(s,T) v(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
命题1得证

162
P188 命题1/7.1 路径概率式子详细推导.md Normal file
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@ -0,0 +1,162 @@
## **第一步：理解第4步中的多重求和**
第4步得到：
\[
\frac{p_n(1,0)}{p_0(1,0)} = \sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)} \left[ \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) \right] \frac{p_n(s_T,T)}{p_0(s_T,T)}
\]
这里：
- \(s_0 = 1\)（根节点）
- \(s_1 \in \Omega(1,0)\)：从根节点出发的第一期状态
- \(s_2 \in \Omega(s_1,1)\)：从\(s_1\)出发的第二期状态
- ...
- \(s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)\)：终端状态
**这个多重求和是在对所有可能的路径求和**。
---
## **第二步：路径的数学表示**
一条完整的路径可以表示为：
\[
\text{路径}: 1 = s_0 \rightarrow s_1 \rightarrow s_2 \rightarrow \cdots \rightarrow s_T
\]
其中：
- \(s_0 = 1\)
- \(s_1 \in \Omega(1,0)\)
- \(s_2 \in \Omega(s_1,1)\)
- ...
- \(s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)\)
**每条路径的概率**为：
\[
\pi^*(\text{路径}) = \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k)
\]
---
## **第三步：重新理解多重求和**
原来的多重求和：
\[
\sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)}
\]
**等价于**：
\[
\sum_{\text{所有从根到终端的路径}}
\]
因为每条路径由序列 \(s_1, s_2, \dots, s_T\) 唯一确定。
---
## **第四步：全局概率的定义**
现在看书中(8A-17)的定义：
\[
\pi^*(s,t+1) = \pi^*(s,t+1|\phi(s,t+1),t) \cdot \pi^*(\phi(s,t+1),t)
\]
**递归展开**：
对于终端节点 \(s_T\)，设它的前驱序列为：
\[
1 = s_0 \rightarrow s_1 \rightarrow \cdots \rightarrow s_{T-1} \rightarrow s_T
\]
那么：
\[
\begin{aligned}
\pi^*(s_T,T) &= \pi^*(s_T,T|s_{T-1},T-1) \cdot \pi^*(s_{T-1},T-1) \\
&= \pi^*(s_T,T|s_{T-1},T-1) \cdot \pi^*(s_{T-1},T-1|s_{T-2},T-2) \cdot \pi^*(s_{T-2},T-2) \\
&= \cdots \\
&= \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k)
\end{aligned}
\]
因为 \(\pi^*(1,0) = 1\)。
---
## **第五步：完成推导**
所以第4步中的：
\[
\sum_{s_1 \in \Omega(1,0)} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \cdots \sum_{s_T \in \Omega(s_{T-1},T-1)} \left[ \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k) \right] \frac{p_n(s_T,T)}{p_0(s_T,T)}
\]
可以重写为：
\[
\sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
因为：
1. **外层求和**：\(\sum_{s \in \Phi(T)}\) 对所有终端状态求和
2. **内层路径概率**：\(\pi^*(s,T)\) 已经包含了到达该终端状态的所有路径的概率
3. **每条路径的概率**：正好是 \(\prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1|s_k,k)\)
---
## **第六步：具体例子说明**
假设 \(T=2\)，树结构为：
- 根节点：1
- 第一期：\(\Omega(1,0) = \{A,B\}\)
- 第二期：\(\Omega(A,1) = \{C,D\}\)，\(\Omega(B,1) = \{E,F\}\)
**第4步的多重求和**：
\[
\sum_{s_1 \in \{A,B\}} \sum_{s_2 \in \Omega(s_1,1)} \pi^*(s_1,1|1,0) \pi^*(s_2,2|s_1,1) \frac{p_n(s_2,2)}{p_0(s_2,2)}
\]
展开为：
\[
\begin{aligned}
&\pi^*(A,1|1,0) \pi^*(C,2|A,1) \frac{p_n(C,2)}{p_0(C,2)} + \pi^*(A,1|1,0) \pi^*(D,2|A,1) \frac{p_n(D,2)}{p_0(D,2)} \\
+ &\pi^*(B,1|1,0) \pi^*(E,2|B,1) \frac{p_n(E,2)}{p_0(E,2)} + \pi^*(B,1|1,0) \pi^*(F,2|B,1) \frac{p_n(F,2)}{p_0(F,2)}
\end{aligned}
\]
**第5步的单一求和**：
\[
\pi^*(C,2) \frac{p_n(C,2)}{p_0(C,2)} + \pi^*(D,2) \frac{p_n(D,2)}{p_0(D,2)} + \pi^*(E,2) \frac{p_n(E,2)}{p_0(E,2)} + \pi^*(F,2) \frac{p_n(F,2)}{p_0(F,2)}
\]
由定义：
\[
\begin{aligned}
\pi^*(C,2) &= \pi^*(C,2|A,1) \pi^*(A,1) = \pi^*(C,2|A,1) \pi^*(A,1|1,0) \\
\pi^*(D,2) &= \pi^*(D,2|A,1) \pi^*(A,1|1,0) \\
\pi^*(E,2) &= \pi^*(E,2|B,1) \pi^*(B,1|1,0) \\
\pi^*(F,2) &= \pi^*(F,2|B,1) \pi^*(B,1|1,0)
\end{aligned}
\]
**两者完全相等**！
---
## **总结**
从第4步到第5步的关键是：
1. **多重求和** = 对所有路径求和
2. **全局概率** \(\pi^*(s,T)\) = 到达终端状态 \(s\) 的所有路径概率之和
3. 在树结构中，每个终端状态只有**唯一一条路径**到达
4. 因此可以转换为对终端状态的单一求和
这样就完成了从条件概率形式到无条件概率形式的转换。

240
P188 命题1/从连续版本的FTAP推导离散版本.md Normal file
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@ -0,0 +1,240 @@
## **一、连续时间资产定价基本定理**
### **1.1 连续时间无套利条件**
在连续时间模型中，**无套利 ⇔ 存在等价鞅测度**
资产价格过程 \(S(t)\) 满足：
\[
\frac{S(t)}{B(t)} \text{ 是 } \mathbb{Q}\text{-鞅}
\]
其中 \(B(t) = e^{\int_0^t r(s)ds}\) 是货币市场账户。
### **1.2 状态价格密度（随机折现因子）**
存在严格正的过程 \(\xi(t)\)（状态价格密度）使得：
\[
S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(T)}{\xi(t)} S(T) \right]
\]
其中 \(\xi(t) = e^{-\int_0^t r(s)ds} \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\bigg|_{\mathcal{F}_t}\)
---
## **二、从连续到离散的推导**
### **2.1 时间离散化**
将时间区间 \([0,T]\) 离散化为 \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_N = T\)，设 \(t_k = k\Delta t\)。
在离散节点 \((s,t)\)，连续公式变为：
\[
p_n(s,t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(t+1)}{\xi(t)} p_n(t+1) \right]
\]
### **2.2 条件期望的离散化**
对于离散状态空间，条件期望变为求和：
\[
p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{\xi(z,t+1)}{\xi(s,t)} p_n(z,t+1) \cdot \mathbb{P}(z,t+1 | s,t)
\]
定义：
- \(q(s,t) = \xi(s,t)\)（状态价格密度）
- \(\pi^*(z,t+1 | s,t) = \frac{\mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \xi(z,t+1) / \xi(s,t)}{\mathbb{E}[\xi(t+1)/\xi(t) | s,t]}\)
---
## **三、直接推导离散时间定价公式**
### **3.1 基本定价公式**
从连续时间定价公式出发：
\[
S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(T)}{\xi(t)} S(T) \right]
\]
在离散时间设定中，对于任意 \(t \leq u \leq T\)：
\[
S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(u)}{\xi(t)} S(u) \right]
\]
特别地，取 \(u = t+1\)：
\[
S(t) = \mathbb{E}_t\left[ \frac{\xi(t+1)}{\xi(t)} S(t+1) \right]
\]
### **3.2 状态空间离散化**
在节点 \((s,t)\)，条件期望变为：
\[
p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{\xi(z,t+1)}{\xi(s,t)} p_n(z,t+1) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t)
\]
令 \(q(s,t) = \xi(s,t)\)，则：
\[
p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_n(z,t+1) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t)
\]
### **3.3 构造风险中性概率**
定义新的概率测度：
\[
\pi^*(z,t+1 | s,t) = \frac{\mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)}}{\sum_{w \in \Omega(s,t)} \mathbb{P}(w,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(w,t+1)}{q(s,t)}}
\]
由于无风险资产满足：
\[
p_0(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} p_0(z,t+1) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t)
\]
且 \(p_0(z,t+1) = (1+i_f(s,t)) p_0(s,t))\)
可得：
\[
\sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} (1+i_f(s,t)) \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) = 1
\]
因此归一化因子为：
\[
\sum_{z \in \Omega(s,t)} \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} = \frac{1}{1+i_f(s,t)}
\]
### **3.4 得到最终公式**
于是：
\[
\pi^*(z,t+1 | s,t) = (1+i_f(s,t)) \cdot \mathbb{P}(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)}
\]
代入定价公式：
\[
p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \frac{\pi^*(z,t+1 | s,t)}{1+i_f(s,t)} p_n(z,t+1)
\]
这正是书中的 (8A-16)！
---
## **四、推导估值公式 (8A-4)**
### **4.1 递归展开**
从单期公式递归应用：
\[
\begin{aligned}
p_n(1,0) &= \sum_{z \in \Omega(1,0)} \frac{\pi^*(z,1 | 1,0)}{1+i_f(1,0)} p_n(z,1) \\
&= \sum_{z \in \Omega(1,0)} \frac{\pi^*(z,1 | 1,0)}{1+i_f(1,0)} \left[ \sum_{w \in \Omega(z,1)} \frac{\pi^*(w,2 | z,1)}{1+i_f(z,1)} p_n(w,2) \right] \\
&= \cdots
\end{aligned}
\]
### **4.2 路径概率**
定义从根节点到终端节点 \(s\) 的路径概率：
\[
\pi^*(s,T) = \prod_{k=0}^{T-1} \pi^*(s_{k+1},k+1 | s_k,k)
\]
其中 \(s_0 = 1, s_T = s\) 是具体路径。
### **4.3 折现因子**
定义累积折现因子：
\[
v(s,T) = \prod_{k=0}^{T-1} \frac{1}{1+i_f(s_k,k)}
\]
### **4.4 最终估值公式**
经过递归展开得到：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \cdot v(s,T) \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)} \cdot p_0(1,0)
\]
由于 \(p_0(1,0)\) 是常数，可以归一化，得到书中的 (8A-4)：
\[
p_n(1,0) = \sum_{s \in \Phi(T)} \pi^*(s,T) \cdot v(s,T) \cdot \frac{p_n(s,T)}{p_0(s,T)}
\]
---
## **五、对偶约束的推导**
### **5.1 无套利条件**
从连续时间的无套利条件：存在严格正的 \(\xi(t)\) 使得折现价格是鞅。
在离散时间中，这等价于：存在严格正的 \(q(s,t)\) 使得：
\[
\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \mathbb{E}^*_t\left[ \frac{p_n(t+1)}{p_0(t+1)} \right]
\]
其中 \(\mathbb{E}^*\) 是在 \(\pi^*\) 下的期望。
### **5.2 得到对偶约束**
由上述鞅性质：
\[
\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \sum_{z \in \Omega(s,t)} \pi^*(z,t+1 | s,t) \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)}
\]
代入 \(\pi^*\) 的定义：
\[
\frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = \sum_{z \in \Omega(s,t)} (1+i_f(s,t)) \cdot \frac{q(z,t+1)}{q(s,t)} \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)}
\]
两边乘以 \(\frac{q(s,t)}{p_0(s,t)}\)：
\[
q(s,t) \cdot \frac{p_n(s,t)}{p_0(s,t)} = (1+i_f(s,t)) \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) \cdot \frac{p_n(z,t+1)}{p_0(z,t+1)}
\]
利用 \(p_0(z,t+1) = (1+i_f(s,t)) p_0(s,t))\)，得到：
\[
q(s,t) p_n(s,t) = \sum_{z \in \Omega(s,t)} q(z,t+1) p_n(z,t+1)
\]
这正是对偶约束 (8A-11)！
---
## **六、总结**
从连续时间资产定价定理推导离散版本的过程：
1. **从连续时间公式出发**：\( S(t) = \mathbb{E}_t[\frac{\xi(T)}{\xi(t)} S(T)] \)
2. **时间离散化**：得到单期定价关系
3. **状态离散化**：将期望变为求和
4. **构造风险中性概率**：\(\pi^*\) 的定义
5. **递归展开**：得到多期估值公式
6. **无套利条件**：导出对偶约束
这种推导方式：
- ✅ **经济直觉更清晰**：基于标准的资产定价理论
- ✅ **数学更严谨**：避免了LP对偶的退化问题
- ✅ **通用性更强**：适用于连续和离散时间
- ✅ **易于推广**：可以扩展到更复杂的模型
这证实了书中离散时间公式确实是连续时间资产定价定理的特例。

129
P190 期权定价/t.md Normal file
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@ -0,0 +1,129 @@
好的，我们基于正确的表达式，并保留 \( q_0 \) 作为变量来求解。
---
### **已知条件**
1. **估值乘子公式**（我们推导出的正确版本）：
\[
v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}}, \quad v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}}
\]
其中 \( R_f = 1.00487 \), \( \pi_{UP} = \pi_{DOWN} = 0.5 \)。
2. **修正后的状态价格方程组**（保证状态价格为正）：
\[
\begin{cases}
q_0 - R_f \cdot q_{UP} - R_f \cdot q_{DOWN} = 0 \quad &(1) \\
50 q_0 - 53 q_{UP} - 49 q_{DOWN} = 0 \quad &(2)
\end{cases}
\]
且 \( q_0 > 0, q_{UP} > 0, q_{DOWN} > 0 \)。
---
### **第一步：从方程组中求出 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)**
我们不需要单独求出 \( q_0, q_{UP}, q_{DOWN} \)，只需要求出它们的比值 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，因为估值乘子公式中只依赖于这些比值。
将方程组 (1) 和 (2) 两边同时除以 \( q_0 \)（因为 \( q_0 > 0 \)，可以这样操作）：
令 \( x = \frac{q_{UP}}{q_0} \), \( y = \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，则方程组变为：
\[
\begin{cases}
1 - R_f \cdot x - R_f \cdot y = 0 \quad &(1') \\
50 - 53 x - 49 y = 0 \quad &(2')
\end{cases}
\]
---
### **第二步：求解比值 \( x \) 和 \( y \)**
由方程 (1')：
\[
R_f (x + y) = 1
\]
\[
x + y = \frac{1}{R_f} \quad (3)
\]
由方程 (2')：
\[
53 x + 49 y = 50 \quad (4)
\]
现在解方程组 (3) 和 (4)：
从 (3) 得：\( y = \frac{1}{R_f} - x \)
代入 (4)：
\[
53 x + 49 \left( \frac{1}{R_f} - x \right) = 50
\]
\[
53 x + \frac{49}{R_f} - 49 x = 50
\]
\[
4 x + \frac{49}{R_f} = 50
\]
\[
4 x = 50 - \frac{49}{R_f}
\]
\[
x = \frac{50 - \frac{49}{R_f}}{4}
\]
代入 \( R_f = 1.00487 \)：
\[
x = \frac{50 - \frac{49}{1.00487}}{4} = \frac{50 - 48.76235}{4} = \frac{1.23765}{4} = 0.3094125
\]
现在求 \( y \)：
\[
y = \frac{1}{R_f} - x = 0.99515 - 0.3094125 = 0.6857375
\]
所以：
\[
\frac{q_{UP}}{q_0} = x = 0.3094125, \quad \frac{q_{DOWN}}{q_0} = y = 0.6857375
\]
---
### **第三步：代入估值乘子公式**
现在代入正确的估值乘子公式：
\[
v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}} = R_f \cdot \frac{q_{UP}/q_0}{\pi_{UP}} = 1.00487 \times \frac{0.3094125}{0.5}
\]
\[
v_{UP} = 1.00487 \times 0.618825 = 0.6217 \approx 0.62
\]
\[
v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} = R_f \cdot \frac{q_{DOWN}/q_0}{\pi_{DOWN}} = 1.00487 \times \frac{0.6857375}{0.5}
\]
\[
v_{DOWN} = 1.00487 \times 1.371475 = 1.3785 \approx 1.38
\]
---

200
P190 期权定价/命题一举例 期权定价.html Normal file
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232
P190 期权定价/命题一举例 期权定价.md Normal file
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@ -0,0 +1,232 @@
## 资产价格方程
### 第一步：理解一般形式（8A-11）
一般形式的资产定价方程为：
\[
- q_{(s, t)} \, p_{n}(s, t) + \sum_{z \in \Omega(s, t)} q_{(z, t+1)} \, p_{n}(z, t+1) = 0
\]
**经济解释**：
- 第一项：\( -q_{(s, t)} \, p_{n}(s, t) \) 表示在状态 \( (s, t) \) 购买资产所花费的**当前价值**。
- 第二项：\( \sum_{z} q_{(z, t+1)} \, p_{n}(z, t+1) \) 表示所有可能后继状态资产价值的**当前价值**之和。
- 等式为零是**无套利条件**的体现：购买资产的成本现值等于其未来所有可能价值的期望现值。
### 第二步：将一般形式应用到单期模型
我们的例子是一个简单的**单期模型**：
- 时间点：\( t = 0 \)（现在）和 \( t = 1 \)（一个月后）。
- 在 \( t = 0 \)，只有一个状态，记为 \( s_{0} \)。
- 在 \( t = 1 \)，有两个可能状态：\( UP \) 和 \( DOWN \)，即 \( \Omega(s_{0}) = \{ UP, \, DOWN \} \)。
在这个设定下，一般形式 \( (8A-11) \) 中的 \( (s, t) \) 特指初始状态 \( (s_{0}, 0) \)。
### 第三步：推导无风险资产的方程（8A-19）
令资产 \( n \) 为**无风险资产**。
1. **在状态 \( (s_{0}, 0) \)**:
- 价格 \( p_{\text{无风险}}(s_{0}, 0) = 1 \)（以1美元为单位）。
- 对应的状态价格为 \( q_{(s_{0}, 0)} \)，在书中记为 \( q_{0} \)。
2. **在后续状态 \( z \in \{ UP, \, DOWN \} \)**:
- 无风险资产在 \( t=1 \) 时刻的回报均为 \( R_{f} = 1.00487 \)，即 \( p_{\text{无风险}}(z, 1) = R_{f} \)。
- 对应的状态价格为 \( q_{(z, 1)} \)，在书中记为 \( q_{UP} \) 和 \( q_{DOWN} \)。
3. **代入一般形式（8A-11）**：
将具体值代入方程 \( -q_{(s,t)} \, p_{n}(s,t) + \sum_{z} q_{(z,t+1)} \, p_{n}(z,t+1) = 0 \)：
\[
- q_{0} \times 1 + \left( q_{UP} \times R_{f} + q_{DOWN} \times R_{f} \right) = 0
\]
简化后得到：
\[
-q_{0} + R_{f} \, (q_{UP} + q_{DOWN}) = 0
\]
移项后，得到书中的方程（8A-19）：
\[
q_{0} - (q_{UP} \cdot R_{f} + q_{DOWN} \cdot R_{f}) = 0
\]
（注：关于 \( q_{DOWN} \) 前的符号，其核心经济含义是 \( q_{0} = R_{f} (q_{UP} + q_{DOWN}) \)，即无风险资产的定价约束。）
### 第四步：推导风险资产（股票）的方程（8A-20）
令资产 \( n \) 为**股票**。
1. **在状态 \( (s_{0}, 0) \)**:K,
- 价格 \( p_{\text{股票}}(s_{0}, 0) = 50 \)。
- 对应的状态价格仍为 \( q_{0} \)。
2. **在后续状态 \( z \in \{ UP, \, DOWN \} \)**:
- 在 \( UP \) 状态，股票价格 \( p_{\text{股票}}(UP, 1) = 53 \)，状态价格为 \( q_{UP} \)。
- 在 \( DOWN \) 状态，股票价格 \( p_{\text{股票}}(DOWN, 1) = 49 \)，状态价格为 \( q_{DOWN} \)。
3. **代入一般形式（8A-11）**：
将具体值代入方程：
\[
- q_{0} \times 50 + \left( q_{UP} \times 53 + q_{DOWN} \times 49 \right) = 0
\]
移项后，得到书中的方程（8A-20）：
\[
q_{0} \cdot 50 - (q_{UP} \cdot 53 + q_{DOWN} \cdot 49) = 0
\]
（同样，其核心是 \( 50 \, q_{0} = 53 \, q_{UP} + 49 \, q_{DOWN} \)，即股票的无套利定价约束。）
---
## 推导 \( v_{UP} \) 和 \( v_{DOWN} \) 的表达式
### **风险中性概率的表达式**
从风险中性概率的定义公式（ (8A-15) 在单期模型下的形式）：
\[
\pi^*(s) = \frac{1 + i_F}{q_0} \cdot q_s
\]
其中 \( 1 + i_F = R_f \)，所以：
\[
\pi^*(s) = \frac{R_f}{q_0} \cdot q_s \quad \text{(B)}
\]
---
### **推导估值乘子表达式**
由 (8A-18) 可得:
\[
v(s) = \frac{\pi^*(s)}{\pi(s)} \quad \text{(A)}
\]
将 (B) 式代入 (A) 式：
\[
v(s) = \frac{\frac{R_f}{q_0} \cdot q_s}{\pi(s)}
\]
直接得到：
\[
v(s) = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_s}{\pi(s)}
\]
对于上涨和下跌状态：
\[
v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}}, \quad v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}}
\]
这就是我们要求的正确形式的估值乘子表达式。
---
## 解方程求最终结果
### **第一步：从方程组中求出 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)**
我们不需要单独求出 \( q_0, q_{UP}, q_{DOWN} \)，只需要求出它们的比值 \( \frac{q_{UP}}{q_0} \) 和 \( \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，因为估值乘子公式中只依赖于这些比值。
将方程组 (1) 和 (2) 两边同时除以 \( q_0 \)（因为 \( q_0 > 0 \)，可以这样操作）：
令 \( x = \frac{q_{UP}}{q_0} \), \( y = \frac{q_{DOWN}}{q_0} \)，则方程组变为：
\[
\begin{cases}
1 - R_f \cdot x - R_f \cdot y = 0 \quad &(1') \\
50 - 53 x - 49 y = 0 \quad &(2')
\end{cases}
\]
---
### **第二步：求解比值 \( x \) 和 \( y \)**
由方程 (1')：
\[
R_f (x + y) = 1
\]
\[
x + y = \frac{1}{R_f} \quad (3)
\]
由方程 (2')：
\[
53 x + 49 y = 50 \quad (4)
\]
现在解方程组 (3) 和 (4)：
从 (3) 得：\( y = \frac{1}{R_f} - x \)
代入 (4)：
\[
53 x + 49 \left( \frac{1}{R_f} - x \right) = 50
\]
\[
53 x + \frac{49}{R_f} - 49 x = 50
\]
\[
4 x + \frac{49}{R_f} = 50
\]
\[
4 x = 50 - \frac{49}{R_f}
\]
\[
x = \frac{50 - \frac{49}{R_f}}{4}
\]
代入 \( R_f = 1.00487 \)：
\[
x = \frac{50 - \frac{49}{1.00487}}{4} = \frac{50 - 48.76235}{4} = \frac{1.23765}{4} = 0.3094125
\]
现在求 \( y \)：
\[
y = \frac{1}{R_f} - x = 0.99515 - 0.3094125 = 0.6857375
\]
所以：
\[
\frac{q_{UP}}{q_0} = x = 0.3094125, \quad \frac{q_{DOWN}}{q_0} = y = 0.6857375
\]
---
### **第三步：代入估值乘子公式**
现在代入正确的估值乘子公式：
\[
v_{UP} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{UP}}{\pi_{UP}} = R_f \cdot \frac{q_{UP}/q_0}{\pi_{UP}} = 1.00487 \times \frac{0.3094125}{0.5}
\]
\[
v_{UP} = 1.00487 \times 0.618825 = 0.6217 \approx 0.62
\]
\[
v_{DOWN} = \frac{R_f}{q_0} \cdot \frac{q_{DOWN}}{\pi_{DOWN}} = R_f \cdot \frac{q_{DOWN}/q_0}{\pi_{DOWN}} = 1.00487 \times \frac{0.6857375}{0.5}
\]
\[
v_{DOWN} = 1.00487 \times 1.371475 = 1.3785 \approx 1.38
\]
---

276
P191 命题2/命题2.md Normal file
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@ -0,0 +1,276 @@
## **推导(8A-24)**
### **1. 设定与优化问题**
考虑一个有无风险资产的市场：
- 无风险收益率：\(R_F\)
- \(N\) 个风险资产，随机收益向量 \(\mathbf{R} = [R_1, R_2, \dots, R_N]^T\)
- 风险资产的预期收益向量：\(E[\mathbf{R}] = [E[R_1], E[R_2], \dots, E[R_N]]^T\)
- 协方差矩阵：\(V\)，其中 \(V_{i,j} = \mathrm{Cov}(R_i, R_j)\)
- 定义预期超额收益向量：
\[
\boldsymbol{\alpha} = E[\mathbf{R}] - R_F \mathbf{1}
\]
其中 \(\mathbf{1}\) 是元素全为 1 的向量。
投资者在风险资产上的权重向量为 \(\mathbf{h}\)，求解：
\[
\max_{\mathbf{h}} \ \mathbf{h}^T \boldsymbol{\alpha} - \frac{\lambda}{2} \mathbf{h}^T V \mathbf{h}
\]
这里不考虑预算约束（可通过无风险资产借贷调节），\(\lambda > 0\) 是风险厌恶系数。
---
### **2. 一阶条件与切点组合**
对 \(\mathbf{h}\) 求导得一阶条件：
\[
\boldsymbol{\alpha} - \lambda V \mathbf{h} = 0
\]
即：
\[
\boldsymbol{\alpha} = \lambda V \mathbf{h} \tag{1}
\]
在均衡中，所有投资者持有相同比例的风险资产组合——**切点组合 \(Q\)**，记其风险资产权重为 \(\mathbf{h}_Q\)，满足：
\[
E[\mathbf{R}] - R_F \mathbf{1} = \lambda V \mathbf{h}_Q \tag{2}
\]
---
### **3. 单个资产的定价关系**
(2) 是向量等式，取第 \(n\) 个分量：
\[
E[R_n] - R_F = \lambda (V \mathbf{h}_Q)_n \tag{3}
\]
其中 \((V \mathbf{h}_Q)_n\) 是向量 \(V \mathbf{h}_Q\) 的第 \(n\) 个元素。
---
### **4. 证明 \((V \mathbf{h}_Q)_n = \mathrm{Cov}(R_n, R_Q)\)**
组合 \(Q\) 的收益率为：
\[
R_Q = \mathbf{h}_Q^T \mathbf{R} = \sum_{j=1}^N h_{Q,j} R_j
\]
计算协方差：
\[
\mathrm{Cov}(R_n, R_Q) = \mathrm{Cov}\left(R_n, \sum_{j=1}^N h_{Q,j} R_j\right) = \sum_{j=1}^N h_{Q,j} \mathrm{Cov}(R_n, R_j)
\]
因为 \(\mathrm{Cov}(R_n, R_j) = V_{n,j}\)，所以：
\[
\mathrm{Cov}(R_n, R_Q) = \sum_{j=1}^N V_{n,j} h_{Q,j} = (V \mathbf{h}_Q)_n
\]
代入 (3) 得：
\[
E[R_n] - R_F = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(R_n, R_Q) \tag{4}
\]
---
### **5. 确定风险价格 \(\lambda\)**
对组合 \(Q\) 本身应用 (4)：
\[
E[R_Q] - R_F = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(R_Q, R_Q) = \lambda \cdot \mathrm{Var}(R_Q)
\]
记 \(f_Q = E[R_Q] - R_F\)，\(\sigma_Q^2 = \mathrm{Var}(R_Q)\)，则：
\[
f_Q = \lambda \sigma_Q^2 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \tag{5}
\]
---
### **6. 得到 CAPM 型定价公式**
将 (5) 代入 (4)：
\[
E[R_n] - R_F = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot \mathrm{Cov}(R_n, R_Q)
\]
定义：
\[
\beta_{n,Q} = \frac{\mathrm{Cov}(R_n, R_Q)}{\sigma_Q^2}
\]
则：
\[
E[R_n] - R_F = \beta_{n,Q} \cdot f_Q = \beta_{n,Q} \cdot (E[R_Q] - R_F) \tag{6}
\]
---
### **7. 写成 (8A-24) 的形式**
记超额收益率 \(r_n = R_n - R_F\)，\(r_Q = R_Q - R_F\)，则：
\[
\mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = \mathrm{Cov}(R_n - R_F, R_Q - R_F) = \mathrm{Cov}(R_n, R_Q)
\]
由 (5) 和 (4)：
\[
E[r_n] = \lambda \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q)
\]
令：
\[
\kappa = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2}
\]
则：
\[
E[R_n] = R_F + \kappa \cdot \mathrm{Cov}(r_n, r_Q) \tag{8A-24}
\]
---
## **从 (8A-24) 到 (8A-26)**
随机折现因子 \(v(s)\) 满足：
\[
E[v R_n] = R_F \quad (8\text{-}17)
\]
且 \(E[v] = 1\)。
由 (8A-25)：
\[
\mathrm{Cov}(r_n, r_Q) = E[R_n (r_Q - f_Q)]
\]
代入 (8A-24)：
\[
E[R_n] = R_F + \kappa \cdot E[R_n (r_Q - f_Q)]
\]
把 \(E[R_n]\) 移到左边：
\[
E[R_n] - \kappa \cdot E[R_n (r_Q - f_Q)] = R_F
\]
即：
\[
E\left[ R_n \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q - f_Q) \right) \right] = R_F \quad (8A\text{-}26)
\]
---
## **3. 与 SDF 公式比较**
由 (8-17)：
\[
E[v R_n] = R_F
\]
比较 (8A-26)：
\[
E\left[ R_n \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q - f_Q) \right) \right] = E[v R_n]
\]
这对任意资产 \(n\) 都成立。
---
## **4. 推导 \(v(s)\) 的形式**
要使：
\[
E\left[ R_n(s) \cdot \left( 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) \right) \right] = E[ R_n(s) \cdot v(s) ] \quad \forall n
\]
必须（在无冗余资产下）有：
\[
v(s) = 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) + \varepsilon(s)
\]
其中 \(\varepsilon(s)\) 与所有 \(R_n(s)\) 正交：\(E[\varepsilon R_n] = 0\)。
如果我们假设市场完全（即所有风险可由资产收益张成），则 \(\varepsilon(s) \equiv 0\)。
于是：
\[
v(s) = 1 - \kappa (r_Q(s) - f_Q) \quad (8A\text{-}21)
\]
---
## **5. 确定 \(\kappa\)**
由 \(E[v] = 1\)：
\[
E[1 - \kappa (r_Q - f_Q)] = 1
\]
即：
\[
1 - \kappa (E[r_Q] - f_Q) = 1
\]
但 \(E[r_Q] = f_Q\)，所以自动满足，无法确定 \(\kappa\)。
实际上 \(\kappa\) 由 \(v\) 与 \(R_Q\) 的关系进一步确定。
由 \(E[v R_Q] = R_F\)：
\[
E\left[ (1 - \kappa (r_Q - f_Q)) R_Q \right] = R_F
\]
代入 \(R_Q = r_Q + R_F\)：
\[
E\left[ (1 - \kappa (r_Q - f_Q)) (r_Q + R_F) \right] = R_F
\]
展开：
\[
E[r_Q + R_F - \kappa r_Q (r_Q + R_F) + \kappa f_Q (r_Q + R_F)] = R_F
\]
利用 \(E[r_Q] = f_Q\)，整理得：
\[
f_Q + R_F - \kappa E[r_Q^2] - \kappa R_F f_Q + \kappa f_Q^2 + \kappa R_F f_Q = R_F
\]
\[
f_Q + R_F - \kappa E[r_Q^2] + \kappa f_Q^2 = R_F
\]
\[
f_Q - \kappa (E[r_Q^2] - f_Q^2) = 0
\]
\[
f_Q - \kappa \sigma_Q^2 = 0
\]
所以：
\[
\kappa = \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \quad (8A\text{-}22)
\]
---
**最终**：
\[
\boxed{v(s) = 1 - \frac{f_Q}{\sigma_Q^2} \cdot (r_Q(s) - f_Q)}
\]
这就是 (8A-21) 的完整推导。

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