每只资产均有两个预测
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## 每只资产均有两个预测
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- **资产数量**：有 \( N \) 个资产。
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- **预测信号数量**：总共有 \( K = 2N \) 个预测信号。这意味着**每个资产都有两个预测信号**。
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- 我们将所有资产的第一个预测信号集合记为向量 \( \mathbf{g_1} \)（例如，所有资产的动量信号）。
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- 将所有资产的第二个预测信号集合记为向量 \( \mathbf{g_2} \)（例如，所有资产的估值信号）。
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- 完整的信号向量为 \( \mathbf{g} = \{\mathbf{g_1}, \mathbf{g_2}\} \)。
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为了在数学上可解且能得出清晰结论，模型做了一系列简化假设。
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#### 假设一：信号间的相关性结构 (公式 11A-7)
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\[
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Var\{\mathbf{g}\} = \mathbf{Std} \cdot
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\begin{bmatrix}
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\mathbf{P} & p_{12} \cdot \mathbf{P} \\
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p_{12} \cdot \mathbf{P} & \mathbf{P}
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\end{bmatrix}
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\cdot \mathbf{Std}
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\]
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这个假设定义了所有信号之间的相关性结构：
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1. **组内相关性相同**：
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- 所有 \( \mathbf{g_1} \) 内部的信号（例如，资产1的动量 vs 资产2的动量）具有相同的相关系数矩阵 \( \mathbf{P} \)。
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- 所有 \( \mathbf{g_2} \) 内部的信号（例如，资产1的估值 vs 资产2的估值）也具有**相同的**相关系数矩阵 \( \mathbf{P} \)。
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2. **组间相关性为常数**：
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- 对于**同一个资产 \( n \)**，它的两个不同信号 \( g_{1n} \) 和 \( g_{2n} \)（例如，资产1的动量 vs 资产1的估值）之间的相关系数是一个常数 \( p_{12} \)。
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- 对于**不同资产**，它们的异类信号之间的相关性（例如，资产1的动量 vs 资产2的估值）被假设为等于 \( p_{12} \) 乘以它们同类信号之间的相关系数。这正是分块矩阵中非对角块 \( p_{12} \cdot \mathbf{P} \) 的含义。
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这个假设极大地简化了现实，它意味着信号间的复杂相关性结构仅由两个关键参数驱动：**同类信号的相关矩阵 \( \mathbf{P} \)** 和 **异类信号的相关常数 \( p_{12} \)**。
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#### 假设二：信号与收益率的相关性结构 (公式 11A-8)
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\[
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Cov\{\mathbf{r},\mathbf{g}\} = \mathbf{\Omega} \cdot [IC_1 \cdot \mathbf{I} \quad IC_2 \cdot \mathbf{I}] \cdot
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\begin{bmatrix}
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\mathbf{P} & \mathbf{0} \\
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\mathbf{0} & \mathbf{P}
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\end{bmatrix}
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\cdot \mathbf{Std}
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\]
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这个假设定义了预测信号与未来收益率之间的关系：
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1. **统一的预测能力**：
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- 所有 \( \mathbf{g_1} \) 类型的信号（如所有动量信号）与其对应资产收益率的信息系数都是 \( IC_1 \)。
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- 所有 \( \mathbf{g_2} \) 类型的信号（如所有估值信号）与其对应资产收益率的信息系数都是 \( IC_2 \)。
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- 这承认了不同类型的信号可能具有不同的平均预测能力。
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2. **交叉协方差的简化**：
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- 这个假设的一个关键简化是，它**切断了异类信号对非对应资产的预测能力**。注意矩阵 \( \begin{bmatrix} \mathbf{P} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{P} \end{bmatrix} \) 中的非对角块是 \( \mathbf{0} \)。
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- 这意味着，资产 \( n \) 的收益率 \( r_n \) 与资产 \( m \) 的异类信号 \( g_{2m} \)（当 \( n \neq m \)）之间的协方差为0。换句话说，资产A的估值信号对资产B的收益率没有直接的预测能力，它们之间的任何关联都是通过信号相关性间接传递的。
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将上述两个假设代入预测基本公式（用于计算阿尔法 \( \mathbf{\phi} \) 的公式）：
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\[
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\mathbf{\phi} = Cov\{\mathbf{r}, \mathbf{g}\} \cdot Var^{-1}\{\mathbf{g}\} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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经过复杂的矩阵运算（求逆和乘法），作者得到了化简后的最终结果（公式 11A-9）：
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\[
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\mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot
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\begin{bmatrix}
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\frac{IC_1 - p_{12} \cdot IC_2}{1 - p_{12}^2} \cdot \mathbf{I} & \frac{IC_2 - p_{12} \cdot IC_1}{1 - p_{12}^2} \cdot \mathbf{I}
|
||||
\end{bmatrix}
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\cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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## 公式 (11A-9)的推导过程
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**预测基本公式（阿尔法形式）:**
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\[
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\mathbf{\phi} = Cov\{\mathbf{r}, \mathbf{g}\} \cdot Var^{-1}\{\mathbf{g}\} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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**给定假设:**
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\[
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\text{(11A-7)}\quad Var\{\mathbf{g}\} = \mathbf{Std} \cdot
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\begin{bmatrix}
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\mathbf{P} & p_{12} \mathbf{P} \\
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||||
p_{12} \mathbf{P} & \mathbf{P}
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||||
\end{bmatrix}
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\cdot \mathbf{Std}
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\]
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\[
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\text{(11A-8)}\quad Cov\{\mathbf{r},\mathbf{g}\} = \mathbf{\Omega} \cdot [IC_1 \mathbf{I} \quad IC_2 \mathbf{I}] \cdot
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\begin{bmatrix}
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||||
\mathbf{P} & \mathbf{0} \\
|
||||
\mathbf{0} & \mathbf{P}
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||||
\end{bmatrix}
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\cdot \mathbf{Std}
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\]
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**目标：** 将 (11A-7) 和 (11A-8) 代入基本公式，化简得到：
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\[
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\mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot
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\begin{bmatrix}
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\frac{IC_1 - p_{12} IC_2}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I} & \frac{IC_2 - p_{12} IC_1}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I}
|
||||
\end{bmatrix}
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||||
\cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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### 推导步骤
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#### 步骤 1: 定义分块矩阵
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令
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\[
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\mathbf{V} = \begin{bmatrix}
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\mathbf{P} & p_{12} \mathbf{P} \\
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||||
p_{12} \mathbf{P} & \mathbf{P}
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||||
\end{bmatrix}
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\]
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则
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\[
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Var\{\mathbf{g}\} = \mathbf{Std} \cdot \mathbf{V} \cdot \mathbf{Std}
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\]
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令
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\[
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\mathbf{C} = [IC_1 \mathbf{I} \quad IC_2 \mathbf{I}] \cdot
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\begin{bmatrix}
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\mathbf{P} & \mathbf{0} \\
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||||
\mathbf{0} & \mathbf{P}
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||||
\end{bmatrix}
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= [IC_1 \mathbf{P} \quad IC_2 \mathbf{P}]
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\]
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||||
则
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\[
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Cov\{\mathbf{r},\mathbf{g}\} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{Std}
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\]
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现在，阿尔法公式变为：
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\[
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\mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{Std} \cdot (\mathbf{Std} \cdot \mathbf{V} \cdot \mathbf{Std})^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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#### 步骤 2: 处理逆矩阵
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利用矩阵逆的性质 \( (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} \)，可得：
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\[
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(\mathbf{Std} \cdot \mathbf{V} \cdot \mathbf{Std})^{-1} = \mathbf{Std}^{-1} \cdot \mathbf{V}^{-1} \cdot \mathbf{Std}^{-1}
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\]
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代入阿尔法公式：
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\[
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\mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{Std} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot \mathbf{V}^{-1} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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\[
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\mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{V}^{-1} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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这里，\( \mathbf{Std} \cdot \mathbf{Std}^{-1} = \mathbf{I} \)。
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**至此，问题转化为求 \( \mathbf{V}^{-1} \)。**
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#### 步骤 3: 求 \( \mathbf{V}^{-1} \)
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我们有
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\[
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\mathbf{V} = \begin{bmatrix}
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\mathbf{P} & p_{12} \mathbf{P} \\
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p_{12} \mathbf{P} & \mathbf{P}
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\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}
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1 & p_{12} \\
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p_{12} & 1
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\end{bmatrix} \otimes \mathbf{P}
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\]
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其中 \( \otimes \) 表示 Kronecker 积。
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根据 Kronecker 积的性质，\( (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1} \)。因此：
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\[
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\mathbf{V}^{-1} = \begin{bmatrix}
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1 & p_{12} \\
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p_{12} & 1
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\end{bmatrix}^{-1} \otimes \mathbf{P}^{-1}
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\]
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计算 \( \begin{bmatrix} 1 & p_{12} \\ p_{12} & 1 \end{bmatrix}^{-1} \)：
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\[
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\begin{bmatrix}
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||||
1 & p_{12} \\
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p_{12} & 1
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\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 1 - p_{12} \cdot p_{12}} \begin{bmatrix}
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1 & -p_{12} \\
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||||
-p_{12} & 1
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\end{bmatrix} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix}
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||||
1 & -p_{12} \\
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||||
-p_{12} & 1
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||||
\end{bmatrix}
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\]
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所以：
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\[
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\mathbf{V}^{-1} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix}
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1 & -p_{12} \\
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-p_{12} & 1
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||||
\end{bmatrix} \otimes \mathbf{P}^{-1} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix}
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\mathbf{P}^{-1} & -p_{12} \mathbf{P}^{-1} \\
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||||
-p_{12} \mathbf{P}^{-1} & \mathbf{P}^{-1}
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||||
\end{bmatrix}
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\]
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#### 步骤 4: 计算 \( \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} \)
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回顾 \( \mathbf{C} = [IC_1 \mathbf{P} \quad IC_2 \mathbf{P}] \)。
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现在计算 \( \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} \)：
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\[
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\mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} = [IC_1 \mathbf{P} \quad IC_2 \mathbf{P}] \cdot \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix}
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\mathbf{P}^{-1} & -p_{12} \mathbf{P}^{-1} \\
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||||
-p_{12} \mathbf{P}^{-1} & \mathbf{P}^{-1}
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||||
\end{bmatrix}
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\]
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这是一个 \( 1 \times 2 \) 分块矩阵与 \( 2 \times 2 \) 分块矩阵的乘法。结果是一个 \( 1 \times 2 \) 分块矩阵：
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- **第一个分块**：
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\[
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IC_1 \mathbf{P} \cdot \mathbf{P}^{-1} + IC_2 \mathbf{P} \cdot (-p_{12} \mathbf{P}^{-1}) = IC_1 \mathbf{I} - p_{12} IC_2 \mathbf{I} = (IC_1 - p_{12} IC_2) \mathbf{I}
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\]
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- **第二个分块**：
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\[
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IC_1 \mathbf{P} \cdot (-p_{12} \mathbf{P}^{-1}) + IC_2 \mathbf{P} \cdot \mathbf{P}^{-1} = -p_{12} IC_1 \mathbf{I} + IC_2 \mathbf{I} = (IC_2 - p_{12} IC_1) \mathbf{I}
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\]
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别忘了乘以前面的标量系数 \( \frac{1}{1 - p_{12}^2} \)。所以：
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\[
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\mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix}
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(IC_1 - p_{12} IC_2) \mathbf{I} & (IC_2 - p_{12} IC_1) \mathbf{I}
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\end{bmatrix}
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\]
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#### 步骤 5: 得到最终结果
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将 \( \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} \) 代回第 2 步得到的阿尔法表达式：
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\[
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\mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \left( \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix}
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||||
(IC_1 - p_{12} IC_2) \mathbf{I} & (IC_2 - p_{12} IC_1) \mathbf{I}
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\end{bmatrix} \right) \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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将标量系数 \( \frac{1}{1 - p_{12}^2} \) 提至矩阵前方，即得到最终公式：
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\[
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\mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot
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||||
\begin{bmatrix}
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||||
\frac{IC_1 - p_{12} IC_2}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I} & \frac{IC_2 - p_{12} IC_1}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I}
|
||||
\end{bmatrix}
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\cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E\{\mathbf{g}\})
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\]
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**推导完毕。**
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