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每只资产均有两个预测

• 资产数量：有 ( N ) 个资产。
• 预测信号数量：总共有 ( K = 2N ) 个预测信号。这意味着每个资产都有两个预测信号。
  • 我们将所有资产的第一个预测信号集合记为向量 ( \mathbf{g_1} )（例如，所有资产的动量信号）。
  • 将所有资产的第二个预测信号集合记为向量 ( \mathbf{g_2} )（例如，所有资产的估值信号）。
  • 完整的信号向量为 ( \mathbf{g} = {\mathbf{g_1}, \mathbf{g_2}} )。

为了在数学上可解且能得出清晰结论，模型做了一系列简化假设。

假设一：信号间的相关性结构 (公式 11A-7)

[ Var{\mathbf{g}} = \mathbf{Std} \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{P} & p_{12} \cdot \mathbf{P} \ p_{12} \cdot \mathbf{P} & \mathbf{P} \end{bmatrix} \cdot \mathbf{Std} ]

这个假设定义了所有信号之间的相关性结构：

1. 组内相关性相同：

   • 所有 ( \mathbf{g_1} ) 内部的信号（例如，资产1的动量 vs 资产2的动量）具有相同的相关系数矩阵 ( \mathbf{P} )。
   • 所有 ( \mathbf{g_2} ) 内部的信号（例如，资产1的估值 vs 资产2的估值）也具有相同的相关系数矩阵 ( \mathbf{P} )。

2. 组间相关性为常数：

   • 对于同一个资产 ( n )，它的两个不同信号 ( g_{1n} ) 和 ( g_{2n} )（例如，资产1的动量 vs 资产1的估值）之间的相关系数是一个常数 ( p_{12} )。
   • 对于不同资产，它们的异类信号之间的相关性（例如，资产1的动量 vs 资产2的估值）被假设为等于 ( p_{12} ) 乘以它们同类信号之间的相关系数。这正是分块矩阵中非对角块 ( p_{12} \cdot \mathbf{P} ) 的含义。

这个假设极大地简化了现实，它意味着信号间的复杂相关性结构仅由两个关键参数驱动：同类信号的相关矩阵 ( \mathbf{P} ) 和 异类信号的相关常数 ( p_{12} )。

假设二：信号与收益率的相关性结构 (公式 11A-8)

[ Cov{\mathbf{r},\mathbf{g}} = \mathbf{\Omega} \cdot [IC_1 \cdot \mathbf{I} \quad IC_2 \cdot \mathbf{I}] \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{P} & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & \mathbf{P} \end{bmatrix} \cdot \mathbf{Std} ]

这个假设定义了预测信号与未来收益率之间的关系：

1. 统一的预测能力：

   • 所有 ( \mathbf{g_1} ) 类型的信号（如所有动量信号）与其对应资产收益率的信息系数都是 ( IC_1 )。
   • 所有 ( \mathbf{g_2} ) 类型的信号（如所有估值信号）与其对应资产收益率的信息系数都是 ( IC_2 )。
   • 这承认了不同类型的信号可能具有不同的平均预测能力。

2. 交叉协方差的简化：

   • 这个假设的一个关键简化是，它切断了异类信号对非对应资产的预测能力。注意矩阵 ( \begin{bmatrix} \mathbf{P} & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & \mathbf{P} \end{bmatrix} ) 中的非对角块是 ( \mathbf{0} )。
   • 这意味着，资产 ( n ) 的收益率 ( r_n ) 与资产 ( m ) 的异类信号 ( g_{2m} )（当 ( n \neq m )）之间的协方差为0。换句话说，资产A的估值信号对资产B的收益率没有直接的预测能力，它们之间的任何关联都是通过信号相关性间接传递的。

将上述两个假设代入预测基本公式（用于计算阿尔法 ( \mathbf{\phi} ) 的公式）：

[ \mathbf{\phi} = Cov{\mathbf{r}, \mathbf{g}} \cdot Var^{-1}{\mathbf{g}} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

经过复杂的矩阵运算（求逆和乘法），作者得到了化简后的最终结果（公式 11A-9）：

[ \mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \begin{bmatrix} \frac{IC_1 - p_{12} \cdot IC_2}{1 - p_{12}^2} \cdot \mathbf{I} & \frac{IC_2 - p_{12} \cdot IC_1}{1 - p_{12}^2} \cdot \mathbf{I} \end{bmatrix} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

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公式 (11A-9)的推导过程

预测基本公式（阿尔法形式）:

[ \mathbf{\phi} = Cov{\mathbf{r}, \mathbf{g}} \cdot Var^{-1}{\mathbf{g}} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

给定假设:

[ \text{(11A-7)}\quad Var{\mathbf{g}} = \mathbf{Std} \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{P} & p_{12} \mathbf{P} \ p_{12} \mathbf{P} & \mathbf{P} \end{bmatrix} \cdot \mathbf{Std} ]

[ \text{(11A-8)}\quad Cov{\mathbf{r},\mathbf{g}} = \mathbf{\Omega} \cdot [IC_1 \mathbf{I} \quad IC_2 \mathbf{I}] \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{P} & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & \mathbf{P} \end{bmatrix} \cdot \mathbf{Std} ]

目标： 将 (11A-7) 和 (11A-8) 代入基本公式，化简得到：

[ \mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \begin{bmatrix} \frac{IC_1 - p_{12} IC_2}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I} & \frac{IC_2 - p_{12} IC_1}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I} \end{bmatrix} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

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推导步骤

步骤 1: 定义分块矩阵

令

[ \mathbf{V} = \begin{bmatrix} \mathbf{P} & p_{12} \mathbf{P} \ p_{12} \mathbf{P} & \mathbf{P} \end{bmatrix} ] 则

[ Var{\mathbf{g}} = \mathbf{Std} \cdot \mathbf{V} \cdot \mathbf{Std} ]

令

[ \mathbf{C} = [IC_1 \mathbf{I} \quad IC_2 \mathbf{I}] \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{P} & \mathbf{0} \ \mathbf{0} & \mathbf{P} \end{bmatrix} = [IC_1 \mathbf{P} \quad IC_2 \mathbf{P}] ] 则

[ Cov{\mathbf{r},\mathbf{g}} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{Std} ]

现在，阿尔法公式变为：

[ \mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{Std} \cdot (\mathbf{Std} \cdot \mathbf{V} \cdot \mathbf{Std})^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

步骤 2: 处理逆矩阵

利用矩阵逆的性质 ( (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} )，可得：

[ (\mathbf{Std} \cdot \mathbf{V} \cdot \mathbf{Std})^{-1} = \mathbf{Std}^{-1} \cdot \mathbf{V}^{-1} \cdot \mathbf{Std}^{-1} ]

代入阿尔法公式：

[ \mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{Std} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot \mathbf{V}^{-1} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

[ \mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{V}^{-1} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ] 这里，( \mathbf{Std} \cdot \mathbf{Std}^{-1} = \mathbf{I} )。

至此，问题转化为求 ( \mathbf{V}^{-1} )。

步骤 3: 求 ( \mathbf{V}^{-1} )

我们有

[ \mathbf{V} = \begin{bmatrix} \mathbf{P} & p_{12} \mathbf{P} \ p_{12} \mathbf{P} & \mathbf{P} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & p_{12} \ p_{12} & 1 \end{bmatrix} \otimes \mathbf{P} ] 其中 ( \otimes ) 表示 Kronecker 积。

根据 Kronecker 积的性质，( (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1} )。因此：

[ \mathbf{V}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & p_{12} \ p_{12} & 1 \end{bmatrix}^{-1} \otimes \mathbf{P}^{-1} ]

计算 ( \begin{bmatrix} 1 & p_{12} \ p_{12} & 1 \end{bmatrix}^{-1} )：

[ \begin{bmatrix} 1 & p_{12} \ p_{12} & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 1 - p_{12} \cdot p_{12}} \begin{bmatrix} 1 & -p_{12} \ -p_{12} & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix} 1 & -p_{12} \ -p_{12} & 1 \end{bmatrix} ]

所以：

[ \mathbf{V}^{-1} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix} 1 & -p_{12} \ -p_{12} & 1 \end{bmatrix} \otimes \mathbf{P}^{-1} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix} \mathbf{P}^{-1} & -p_{12} \mathbf{P}^{-1} \ -p_{12} \mathbf{P}^{-1} & \mathbf{P}^{-1} \end{bmatrix} ]

步骤 4: 计算 ( \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} )

回顾 ( \mathbf{C} = [IC_1 \mathbf{P} \quad IC_2 \mathbf{P}] )。

现在计算 ( \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} )：

[ \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} = [IC_1 \mathbf{P} \quad IC_2 \mathbf{P}] \cdot \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix} \mathbf{P}^{-1} & -p_{12} \mathbf{P}^{-1} \ -p_{12} \mathbf{P}^{-1} & \mathbf{P}^{-1} \end{bmatrix} ]

这是一个 ( 1 \times 2 ) 分块矩阵与 ( 2 \times 2 ) 分块矩阵的乘法。结果是一个 ( 1 \times 2 ) 分块矩阵：

• 第一个分块：

[ IC_1 \mathbf{P} \cdot \mathbf{P}^{-1} + IC_2 \mathbf{P} \cdot (-p_{12} \mathbf{P}^{-1}) = IC_1 \mathbf{I} - p_{12} IC_2 \mathbf{I} = (IC_1 - p_{12} IC_2) \mathbf{I} ]

• 第二个分块：

[ IC_1 \mathbf{P} \cdot (-p_{12} \mathbf{P}^{-1}) + IC_2 \mathbf{P} \cdot \mathbf{P}^{-1} = -p_{12} IC_1 \mathbf{I} + IC_2 \mathbf{I} = (IC_2 - p_{12} IC_1) \mathbf{I} ]

别忘了乘以前面的标量系数 ( \frac{1}{1 - p_{12}^2} )。所以：

[ \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} = \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix} (IC_1 - p_{12} IC_2) \mathbf{I} & (IC_2 - p_{12} IC_1) \mathbf{I} \end{bmatrix} ]

步骤 5: 得到最终结果

将 ( \mathbf{C} \mathbf{V}^{-1} ) 代回第 2 步得到的阿尔法表达式：

[ \mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \left( \frac{1}{1 - p_{12}^2} \begin{bmatrix} (IC_1 - p_{12} IC_2) \mathbf{I} & (IC_2 - p_{12} IC_1) \mathbf{I} \end{bmatrix} \right) \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

将标量系数 ( \frac{1}{1 - p_{12}^2} ) 提至矩阵前方，即得到最终公式：

[ \mathbf{\phi} = \mathbf{\Omega} \cdot \begin{bmatrix} \frac{IC_1 - p_{12} IC_2}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I} & \frac{IC_2 - p_{12} IC_1}{1 - p_{12}^2} \mathbf{I} \end{bmatrix} \cdot \mathbf{Std}^{-1} \cdot (\mathbf{g} - E{\mathbf{g}}) ]

推导完毕。

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