P194 命题4

P194 命题4/命题4.md

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+### 1. 问题设定
+
+已知全额投资组合 \(P\)，构造  
+
+ \[
+R_P(w) = R_F + w (R_P - R_F)
+\]  
+其中 \(R_F = 1 + i_F\) 为常数。  
+
+我们要选择 \(w\) 来最小化  
+
+ \[
+g(w) = E[R_P(w)^2]
+\]
+
+---
+
+### 2. 展开 \(g(w)\)
+
+
+ \[
+R_P(w) = R_F + w r_P
+\]  
+其中 \(r_P = R_P - R_F\) 是超额收益，满足 \(E[r_P] = f_P\)（预期超额收益），\(\text{Var}(r_P) = \sigma_P^2\)，且 \(R_F\) 与 \(r_P\) 独立（无风险利率固定）。
+
+于是  
+
+ \[
+g(w) = E[(R_F + w r_P)^2]
+\]  
+
+ \[
+= R_F^2 + 2w R_F E[r_P] + w^2 E[r_P^2]
+\]  
+注意 \(E[r_P^2] = \text{Var}(r_P) + (E[r_P])^2 = \sigma_P^2 + f_P^2\)。
+
+所以  
+
+ \[
+g(w) = R_F^2 + 2w R_F f_P + w^2 (\sigma_P^2 + f_P^2) \tag{1}
+\]
+
+---
+
+### 3. 一阶条件求最优 \(w_P\)
+
+对 \(w\) 求导：  
+
+ \[
+g'(w) = 2 R_F f_P + 2w (\sigma_P^2 + f_P^2) = 0
+\]  
+解得  
+
+ \[
+w_P = - \frac{R_F f_P}{\sigma_P^2 + f_P^2} \tag{2}
+\]
+
+---
+
+### 4. 用夏普比率表示
+
+夏普比率 \(SR_P = \frac{f_P}{\sigma_P}\)，所以 \(f_P = SR_P \cdot \sigma_P\)。
+
+代入 (2)：  
+
+ \[
+w_P = - \frac{R_F \cdot SR_P \cdot \sigma_P}{\sigma_P^2 + (SR_P \cdot \sigma_P)^2}
+\]  
+
+ \[
+= - \frac{R_F \cdot SR_P \cdot \sigma_P}{\sigma_P^2 (1 + SR_P^2)}
+\]  
+
+ \[
+= - \frac{R_F \cdot SR_P}{\sigma_P (1 + SR_P^2)} \tag{3}
+\]  
+这就是书上的 (8A-38) 式，因为 \(R_F = 1 + i_F\)。
+
+---
+
+### 5. 最小化后的二阶矩值
+
+将 \(w_P\) 代入 \(g(w)\)：
+
+由 (1) 和 (2) 先算 \(w_P^2 (\sigma_P^2 + f_P^2)\) 与 \(2w_P R_F f_P\) 的关系。
+
+由一阶条件：  
+
+ \[
+R_F f_P + w_P (\sigma_P^2 + f_P^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad w_P (\sigma_P^2 + f_P^2) = - R_F f_P
+\]  
+所以  
+
+ \[
+2w_P R_F f_P  = 2 R_F f_P \cdot \left[ - \frac{R_F f_P}{\sigma_P^2 + f_P^2} \right] = - \frac{2 R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2}
+\]  
+
+ \[
+w_P^2 (\sigma_P^2 + f_P^2) = \frac{R_F^2 f_P^2}{(\sigma_P^2 + f_P^2)^2} \cdot (\sigma_P^2 + f_P^2) = \frac{R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2}
+\]
+
+于是  
+
+ \[
+g(w_P) = R_F^2 - \frac{2 R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} + \frac{R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2}
+\]  
+
+ \[
+= R_F^2 - \frac{R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2}
+\]  
+
+ \[
+= R_F^2 \left[ 1 - \frac{f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} \right]
+\]  
+
+ \[
+= R_F^2 \left[ \frac{\sigma_P^2 + f_P^2 - f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} \right]
+\]  
+
+ \[
+= R_F^2 \cdot \frac{\sigma_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2}
+\]  
+但 \(f_P^2 = SR_P^2 \sigma_P^2\)，所以  
+
+ \[
+\sigma_P^2 + f_P^2 = \sigma_P^2 (1 + SR_P^2)
+\]  
+因此  
+
+ \[
+g(w_P) = R_F^2 \cdot \frac{\sigma_P^2}{\sigma_P^2 (1 + SR_P^2)} = \frac{R_F^2}{1 + SR_P^2} \tag{4}
+\]  
+这就是 (8A-39) 式。
+
+---
+
+### 6. 为什么选择夏普比率最大的 Q
+
+由 (4) 可知，最小化后的二阶矩 \(g(w_P) = \frac{R_F^2}{1 + SR_P^2}\)。  
+显然 \(SR_P^2\) 越大，\(g(w_P)\) 越小。
+
+所以，在所有全额投资组合 \(P\) 中，选择夏普比率绝对值最大的组合 \(Q\)（即 \(SR_Q^2\) 最大）时，用上述方法构造的组合 \(R_F + w_Q (R_Q - R_F)\) 会得到全局最小的 \(E[R^2]\)，即它就是组合 \(S\)。
+
+因此  
+
+ \[
+R_S = R_F + w_Q (R_Q - R_F)
+\]  
+其中  
+
+ \[
+w_Q = - \frac{R_F \cdot SR_Q}{\sigma_Q (1 + SR_Q^2)}
+\]  
+证毕。