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1. 问题设定
已知全额投资组合 (P)，构造
[
R_P(w) = R_F + w (R_P - R_F)
]
其中 (R_F = 1 + i_F) 为常数。
我们要选择 (w) 来最小化
[ g(w) = E[R_P(w)^2] ]
2. 展开 (g(w))
[
R_P(w) = R_F + w r_P
]
其中 (r_P = R_P - R_F) 是超额收益，满足 (E[r_P] = f_P)（预期超额收益），(\text{Var}(r_P) = \sigma_P^2)，且 (R_F) 与 (r_P) 独立（无风险利率固定）。
于是
[ g(w) = E[(R_F + w r_P)^2] ]
[
= R_F^2 + 2w R_F E[r_P] + w^2 E[r_P^2]
]
注意 (E[r_P^2] = \text{Var}(r_P) + (E[r_P])^2 = \sigma_P^2 + f_P^2)。
所以
[ g(w) = R_F^2 + 2w R_F f_P + w^2 (\sigma_P^2 + f_P^2) \tag{1} ]
3. 一阶条件求最优 (w_P)
对 (w) 求导：
[
g'(w) = 2 R_F f_P + 2w (\sigma_P^2 + f_P^2) = 0
]
解得
[ w_P = - \frac{R_F f_P}{\sigma_P^2 + f_P^2} \tag{2} ]
4. 用夏普比率表示
夏普比率 (SR_P = \frac{f_P}{\sigma_P})，所以 (f_P = SR_P \cdot \sigma_P)。
代入 (2)：
[ w_P = - \frac{R_F \cdot SR_P \cdot \sigma_P}{\sigma_P^2 + (SR_P \cdot \sigma_P)^2} ]
[ = - \frac{R_F \cdot SR_P \cdot \sigma_P}{\sigma_P^2 (1 + SR_P^2)} ]
[
= - \frac{R_F \cdot SR_P}{\sigma_P (1 + SR_P^2)} \tag{3}
]
这就是书上的 (8A-38) 式，因为 (R_F = 1 + i_F)。
5. 最小化后的二阶矩值
将 (w_P) 代入 (g(w))：
由 (1) 和 (2) 先算 (w_P^2 (\sigma_P^2 + f_P^2)) 与 (2w_P R_F f_P) 的关系。
由一阶条件：
[
R_F f_P + w_P (\sigma_P^2 + f_P^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad w_P (\sigma_P^2 + f_P^2) = - R_F f_P
]
所以
[ 2w_P R_F f_P = 2 R_F f_P \cdot \left[ - \frac{R_F f_P}{\sigma_P^2 + f_P^2} \right] = - \frac{2 R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} ]
[ w_P^2 (\sigma_P^2 + f_P^2) = \frac{R_F^2 f_P^2}{(\sigma_P^2 + f_P^2)^2} \cdot (\sigma_P^2 + f_P^2) = \frac{R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} ]
于是
[ g(w_P) = R_F^2 - \frac{2 R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} + \frac{R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} ]
[ = R_F^2 - \frac{R_F^2 f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} ]
[ = R_F^2 \left[ 1 - \frac{f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} \right] ]
[ = R_F^2 \left[ \frac{\sigma_P^2 + f_P^2 - f_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2} \right] ]
[
= R_F^2 \cdot \frac{\sigma_P^2}{\sigma_P^2 + f_P^2}
]
但 (f_P^2 = SR_P^2 \sigma_P^2)，所以
[
\sigma_P^2 + f_P^2 = \sigma_P^2 (1 + SR_P^2)
]
因此
[
g(w_P) = R_F^2 \cdot \frac{\sigma_P^2}{\sigma_P^2 (1 + SR_P^2)} = \frac{R_F^2}{1 + SR_P^2} \tag{4}
]
这就是 (8A-39) 式。
6. 为什么选择夏普比率最大的 Q
由 (4) 可知，最小化后的二阶矩 (g(w_P) = \frac{R_F^2}{1 + SR_P^2})。
显然 (SR_P^2) 越大，(g(w_P)) 越小。
所以，在所有全额投资组合 (P) 中，选择夏普比率绝对值最大的组合 (Q)（即 (SR_Q^2) 最大）时，用上述方法构造的组合 (R_F + w_Q (R_Q - R_F)) 会得到全局最小的 (E[R^2])，即它就是组合 (S)。
因此
[
R_S = R_F + w_Q (R_Q - R_F)
]
其中
[
w_Q = - \frac{R_F \cdot SR_Q}{\sigma_Q (1 + SR_Q^2)}
]
证毕。