P250 命题1

P250 命题1/P250 命题1.md

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+## 1. 问题设定
+
+我们有：
+- \( r \)：超额收益率向量 (我们想估计的随机向量)（维度 \(N\)）
+- \( g \)：原始预测向量 (观测到的随机向量)（维度 \(K\)）
+- 线性估计形式：  
+
+\[
+\hat{r}(g; b, A) = b + A g
+\]
+其中 \(b\) 是 \(N\) 维向量，\(A\) 是 \(N \times K\) 矩阵。
+
+估计误差：
+
+\[
+q = r - \hat{r}
+\]
+均方误差（MSE）：
+
+\[
+\text{MSE}(b,A) = E[q^T q] = E\left[ \sum_{n=1}^N q_n^2 \right]
+\]
+
+---
+
+## 2. 第一步：对 \(b\) 优化
+
+我们要最小化 \(\text{MSE}(b,A)\)，先对 \(b_n\) 求偏导（\(n=1,\dots,N\)）。
+
+注意：
+
+\[
+q_n = r_n - b_n - \sum_{k=1}^K A_{n,k} g_k
+\]
+
+\[
+\frac{\partial \text{MSE}}{\partial b_n} = E\left[ 2 q_n \cdot (-1) \right] = -2 E[q_n] \overset{\text{令}}{=} 0
+\]
+所以：
+
+\[
+E[q_n] = 0
+\]
+即：
+
+\[
+E[r_n - b_n - \sum_{k=1}^K A_{n,k} g_k] = 0
+\]
+
+\[
+E[r_n] - b_n - \sum_{k=1}^K A_{n,k} E[g_k] = 0
+\]
+因此：
+
+\[
+b_n = E[r_n] - \sum_{k=1}^K A_{n,k} E[g_k]
+\]
+写成向量形式：
+
+\[
+b = E[r] - A E[g]
+\]
+于是最优线性估计的形式变为：
+
+\[
+\hat{r} = E[r] + A (g - E[g])
+\]
+
+
+取期望  
+
+\[
+E[\hat{r}] = E\big[ E[r] + A (g - E[g]) \big]
+\]  
+由于 \( E[r] \) 是常数，\( A \) 是固定矩阵（不是随机的），  
+
+\[
+E[\hat{r}] = E[r] + A \cdot E[g - E[g]]
+\]  
+而  
+
+\[
+E[g - E[g]] = E[g] - E[g] = 0
+\]  
+所以  
+
+\[
+E[\hat{r}] = E[r] + A \cdot 0 = E[r]
+\]  
+
+因此估计是无偏的：  
+
+\[
+E[\hat{r}] = E[r]
+\]  
+
+从而 \( E[q] = 0 \)：  
+因为  
+
+\[
+q = r - \hat{r}
+\]  
+
+\[
+E[q] = E[r] - E[\hat{r}] = E[r] - E[r] = 0
+\]  
+
+
+---
+
+## 3. 引入中心化变量
+
+令：
+
+\[
+s = g - E[g], \quad p = r - E[r]
+\]
+则：
+
+\[
+q = p - A s
+\]
+并且 \(E[q] = 0\)。
+
+---
+
+## 4. 展开 MSE
+
+
+\[
+\text{MSE}(A) = E[q^T q] = E[(p - A s)^T (p - A s)]
+\]
+
+\[
+= E[p^T p] - 2 E[p^T A s] + E[s^T A^T A s]
+\]
+
+---
+
+## 5. 对 \(A_{n,k}\) 求偏导
+
+我们也可以直接对每个 \(A_{n,k}\) 求偏导来得到条件。
+
+
+\[
+q_n = p_n - \sum_{j=1}^K A_{n,j} s_j
+\]
+
+\[
+\frac{\partial \text{MSE}}{\partial A_{n,k}} = E\left[ 2 q_n \cdot ( - s_k ) \right] = -2 E[q_n s_k] \overset{\text{令}}{=} 0
+\]
+所以：
+
+\[
+E[q_n s_k] = 0
+\]
+即：
+
+\[
+E\left[ \left( p_n - \sum_{j=1}^K A_{n,j} s_j \right) s_k \right] = 0
+\]
+
+\[
+E[p_n s_k] - \sum_{j=1}^K A_{n,j} E[s_j s_k] = 0
+\]
+注意：
+- \(E[p_n s_k] = \text{Cov}(r_n, g_k)\)（因为 \(p_n = r_n - E[r_n]\)，\(s_k = g_k - E[g_k]\)）
+- \(E[s_j s_k] = \text{Cov}(g_j, g_k)\)（即 \(\text{Var}(g)\) 的第 \((j,k)\) 元素）
+
+---
+
+## 6. 矩阵形式
+
+对每个 \(n\)，有：
+
+\[
+\text{Cov}(r_n, g) - A_{n,\cdot} \cdot \text{Var}(g) = 0
+\]
+其中 \(A_{n,\cdot}\) 是 \(A\) 的第 \(n\) 行。
+
+将所有行堆起来：
+
+\[
+\text{Cov}(r, g) - A \cdot \text{Var}(g) = 0
+\]
+这里 \(\text{Cov}(r,g)\) 是 \(N \times K\) 矩阵，元素为 \(\text{Cov}(r_n, g_k)\)。
+
+所以：
+
+\[
+A = \text{Cov}(r, g) \cdot \text{Var}(g)^{-1}
+\]
+
+---
+
+## 7. 最终估计量
+
+代入：
+
+\[
+\hat{r} = E[r] + \text{Cov}(r, g) \cdot \text{Var}(g)^{-1} \cdot (g - E[g])
+\]
+这就是命题中给出的形式。