3.0 KiB
1. 问题设定
我们有：
- ( r )：超额收益率向量 (我们想估计的随机向量)（维度 (N)）
- ( g )：原始预测向量 (观测到的随机向量)（维度 (K)）
- 线性估计形式：
[ \hat{r}(g; b, A) = b + A g ] 其中 (b) 是 (N) 维向量，(A) 是 (N \times K) 矩阵。
估计误差：
[ q = r - \hat{r} ] 均方误差（MSE）：
[ \text{MSE}(b,A) = E[q^T q] = E\left[ \sum_{n=1}^N q_n^2 \right] ]
2. 第一步：对 (b) 优化
我们要最小化 (\text{MSE}(b,A))，先对 (b_n) 求偏导（(n=1,\dots,N)）。
注意：
[ q_n = r_n - b_n - \sum_{k=1}^K A_{n,k} g_k ]
[ \frac{\partial \text{MSE}}{\partial b_n} = E\left[ 2 q_n \cdot (-1) \right] = -2 E[q_n] \overset{\text{令}}{=} 0 ] 所以：
[ E[q_n] = 0 ] 即：
[ E[r_n - b_n - \sum_{k=1}^K A_{n,k} g_k] = 0 ]
[ E[r_n] - b_n - \sum_{k=1}^K A_{n,k} E[g_k] = 0 ] 因此：
[ b_n = E[r_n] - \sum_{k=1}^K A_{n,k} E[g_k] ] 写成向量形式：
[ b = E[r] - A E[g] ] 于是最优线性估计的形式变为：
[ \hat{r} = E[r] + A (g - E[g]) ]
取期望
[
E[\hat{r}] = E\big[ E[r] + A (g - E[g]) \big]
]
由于 ( E[r] ) 是常数，( A ) 是固定矩阵（不是随机的），
[
E[\hat{r}] = E[r] + A \cdot E[g - E[g]]
]
而
[
E[g - E[g]] = E[g] - E[g] = 0
]
所以
[ E[\hat{r}] = E[r] + A \cdot 0 = E[r] ]
因此估计是无偏的：
[ E[\hat{r}] = E[r] ]
从而 ( E[q] = 0 )：
因为
[ q = r - \hat{r} ]
[ E[q] = E[r] - E[\hat{r}] = E[r] - E[r] = 0 ]
3. 引入中心化变量
令：
[ s = g - E[g], \quad p = r - E[r] ] 则：
[ q = p - A s ] 并且 (E[q] = 0)。
4. 展开 MSE
[ \text{MSE}(A) = E[q^T q] = E[(p - A s)^T (p - A s)] ]
[ = E[p^T p] - 2 E[p^T A s] + E[s^T A^T A s] ]
5. 对 (A_{n,k}) 求偏导
我们也可以直接对每个 (A_{n,k}) 求偏导来得到条件。
[ q_n = p_n - \sum_{j=1}^K A_{n,j} s_j ]
[ \frac{\partial \text{MSE}}{\partial A_{n,k}} = E\left[ 2 q_n \cdot ( - s_k ) \right] = -2 E[q_n s_k] \overset{\text{令}}{=} 0 ] 所以：
[ E[q_n s_k] = 0 ] 即：
[ E\left[ \left( p_n - \sum_{j=1}^K A_{n,j} s_j \right) s_k \right] = 0 ]
[ E[p_n s_k] - \sum_{j=1}^K A_{n,j} E[s_j s_k] = 0 ] 注意：
- (E[p_n s_k] = \text{Cov}(r_n, g_k))（因为 (p_n = r_n - E[r_n])，(s_k = g_k - E[g_k])）
- (E[s_j s_k] = \text{Cov}(g_j, g_k))（即 (\text{Var}(g)) 的第 ((j,k)) 元素）
6. 矩阵形式
对每个 (n)，有：
[ \text{Cov}(r_n, g) - A_{n,\cdot} \cdot \text{Var}(g) = 0 ] 其中 (A_{n,\cdot}) 是 (A) 的第 (n) 行。
将所有行堆起来：
[ \text{Cov}(r, g) - A \cdot \text{Var}(g) = 0 ] 这里 (\text{Cov}(r,g)) 是 (N \times K) 矩阵，元素为 (\text{Cov}(r_n, g_k))。
所以：
[ A = \text{Cov}(r, g) \cdot \text{Var}(g)^{-1} ]
7. 最终估计量
代入：
[ \hat{r} = E[r] + \text{Cov}(r, g) \cdot \text{Var}(g)^{-1} \cdot (g - E[g]) ] 这就是命题中给出的形式。