P289 定理6.4.2

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P289 定理6.4.2.md

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+## **定理 6.4.2**
+
+设总体概率函数是 \( p(x; \theta) \)，样本为 \( x_1, x_2, \dots, x_n \)，  
+\( T = T(x_1, \dots, x_n) \) 是 \(\theta\) 的充分统计量。  
+若 \(\hat{\theta} = \hat{\theta}(x_1, \dots, x_n)\) 是 \(\theta\) 的任一无偏估计，  
+令  
+
+ \[
+\tilde{\theta} = E(\hat{\theta} \mid T),
+\]  
+则：
+
+1. \(\tilde{\theta}\) 也是 \(\theta\) 的无偏估计；
+2. \(\mathrm{Var}(\tilde{\theta}) \le \mathrm{Var}(\hat{\theta})\)，等号成立当且仅当 \(\hat{\theta} = \tilde{\theta}\) 几乎必然。
+
+
+### 1. 证明 \(\tilde{\theta}\) 是统计量且无偏
+
+由于 \(T\) 是充分统计量，条件分布不依赖于 \(\theta\)，所以 \(\tilde{\theta} = E(\hat{\theta}|T)\) 与 \(\theta\) 无关，是一个统计量。
+
+由重期望公式：
+
+ \[
+E(\tilde{\theta}) = E[E(\hat{\theta}|T)] = E(\hat{\theta}) = \theta
+\]
+所以 \(\tilde{\theta}\) 是 \(\theta\) 的无偏估计。
+
+### 2. 证明方差不等式
+
+考虑方差分解：
+
+ \[
+\begin{aligned}
+Var(\hat{\theta}) &= E[(\hat{\theta} - \theta)^2] \\
+&= E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta} + \tilde{\theta} - \theta)^2] \\
+&= E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})^2] + E[(\tilde{\theta} - \theta)^2] + 2E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})(\tilde{\theta} - \theta)]
+\end{aligned}
+\]
+
+### 3. 证明交叉项为零
+
+由重期望公式（tower property, 随机变量的期望，等于它的条件期望的期望）
+
+ \[
+E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})(\tilde{\theta} - \theta)] 
+= E\{E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})(\tilde{\theta} - \theta)|T]\} \\
+\]
+
+
+以及在条件期望 \(E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})(\tilde{\theta} - \theta)|T]\) 中：
+
+- \(\tilde{\theta} - \theta\) 是 \(T\) 的函数（因为 \(\tilde{\theta}\) 是 \(T\) 的函数）
+- 在给定 \(T\) 的条件下，\(\tilde{\theta} - \theta\) 是一个确定的数值（不是随机变量）
+
+因此：
+
+ \[
+\begin{aligned}
+E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})(\tilde{\theta} - \theta)] 
+&= E\{E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})(\tilde{\theta} - \theta)|T]\} \\
+&= E\{(\tilde{\theta} - \theta) \cdot E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})|T]\}
+\end{aligned}
+\]
+
+
+
+
+由于 \(\tilde{\theta} = E(\hat{\theta}|T)\)，所以：
+
+ \[
+E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})|T] = E(\hat{\theta}|T) - \tilde{\theta} = \tilde{\theta} - \tilde{\theta} = 0
+\]
+
+因此：
+
+ \[
+E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})(\tilde{\theta} - \theta)] = 0
+\]
+
+### 4. 最终结果
+
+代入得：
+
+ \[
+\begin{aligned}
+Var(\hat{\theta}) &= E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})^2] + Var(\tilde{\theta}) \\
+&\geq Var(\tilde{\theta})
+\end{aligned}
+\]
+
+等号成立当且仅当 \(E[(\hat{\theta} - \tilde{\theta})^2] = 0\)，即 \(\hat{\theta} = \tilde{\theta}\) 几乎必然。
+
+---
+